حل {l}{3a+5u=17}{2a+u=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 a + 5 u = 17 } \\ { 2 a + u = 9 } \end{array} \right.$$

حل مسائل a، u

$$a=4$$

$$u=1$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$3a+5u=17,2a+u=9$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة a بعزل a على يسار علامة التساوي.

$$3a+5u=17$$

اطرح 5u من طرفي المعادلة.

$$3a=-5u+17$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$a=\frac{1}{3}\left(-5u+17\right)$$

اضرب \frac{1}{3} في -5u+17.

$$a=-\frac{5}{3}u+\frac{17}{3}$$

عوّض عن a بالقيمة \frac{-5u+17}{3} في المعادلة الأخرى، 2a+u=9.

$$2\left(-\frac{5}{3}u+\frac{17}{3}\right)+u=9$$

اضرب 2 في \frac{-5u+17}{3}.

$$-\frac{10}{3}u+\frac{34}{3}+u=9$$

اجمع -\frac{10u}{3} مع u.

$$-\frac{7}{3}u+\frac{34}{3}=9$$

اطرح \frac{34}{3} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{7}{3}u=-\frac{7}{3}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{7}{3}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$u=1$$

عوّض عن u بالقيمة 1 في a=-\frac{5}{3}u+\frac{17}{3}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة a مباشرةً.

$$a=\frac{-5+17}{3}$$

اجمع \frac{17}{3} مع -\frac{5}{3} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$a=4$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$a=4,u=1$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$3a+5u=17,2a+u=9$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\u\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\9\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\u\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\9\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\u\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\9\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}a\\u\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\9\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}a\\u\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-5\times 2}&-\frac{5}{3-5\times 2}\\-\frac{2}{3-5\times 2}&\frac{3}{3-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\9\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}a\\u\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&\frac{5}{7}\\\frac{2}{7}&-\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\9\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}a\\u\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\times 17+\frac{5}{7}\times 9\\\frac{2}{7}\times 17-\frac{3}{7}\times 9\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}a\\u\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة a وu.

$$a=4,u=1$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$3a+5u=17,2a+u=9$$

لجعل 3a و2a متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 3.

$$2\times 3a+2\times 5u=2\times 17,3\times 2a+3u=3\times 9$$

تبسيط.

$$6a+10u=34,6a+3u=27$$

اطرح 6a+3u=27 من 6a+10u=34 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$6a-6a+10u-3u=34-27$$

اجمع 6a مع -6a. حذف الحدين 6a و-6a، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$10u-3u=34-27$$

اجمع 10u مع -3u.

$$7u=34-27$$

اجمع 34 مع -27.

$$7u=7$$

قسمة طرفي المعادلة على 7.

$$u=1$$

عوّض عن u بالقيمة 1 في 2a+u=9. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة a مباشرةً.

$$2a+1=9$$

اطرح 1 من طرفي المعادلة.

$$2a=8$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$a=4$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$a=4,u=1$$