حل {l}{3a+2b=2}{-2a+3b=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 a + 2 b = 2 } \\ { - 2 a + 3 b = 2 } \end{array} \right.$$

حل مسائل a، b

$$a=\frac{2}{13}\approx 0.153846154$$

$$b=\frac{10}{13}\approx 0.769230769$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$3a+2b=2,-2a+3b=2$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة a بعزل a على يسار علامة التساوي.

$$3a+2b=2$$

اطرح 2b من طرفي المعادلة.

$$3a=-2b+2$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$a=\frac{1}{3}\left(-2b+2\right)$$

اضرب \frac{1}{3} في -2b+2.

$$a=-\frac{2}{3}b+\frac{2}{3}$$

عوّض عن a بالقيمة \frac{-2b+2}{3} في المعادلة الأخرى، -2a+3b=2.

$$-2\left(-\frac{2}{3}b+\frac{2}{3}\right)+3b=2$$

اضرب -2 في \frac{-2b+2}{3}.

$$\frac{4}{3}b-\frac{4}{3}+3b=2$$

اجمع \frac{4b}{3} مع 3b.

$$\frac{13}{3}b-\frac{4}{3}=2$$

أضف \frac{4}{3} إلى طرفي المعادلة.

$$\frac{13}{3}b=\frac{10}{3}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{13}{3}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$b=\frac{10}{13}$$

عوّض عن b بالقيمة \frac{10}{13} في a=-\frac{2}{3}b+\frac{2}{3}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة a مباشرةً.

$$a=-\frac{2}{3}\times \frac{10}{13}+\frac{2}{3}$$

اضرب -\frac{2}{3} في \frac{10}{13} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$a=-\frac{20}{39}+\frac{2}{3}$$

اجمع \frac{2}{3} مع -\frac{20}{39} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$a=\frac{2}{13}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$a=\frac{2}{13},b=\frac{10}{13}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$3a+2b=2,-2a+3b=2$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}3&2\\-2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-2\left(-2\right)}&-\frac{2}{3\times 3-2\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{3\times 3-2\left(-2\right)}&\frac{3}{3\times 3-2\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{13}&-\frac{2}{13}\\\frac{2}{13}&\frac{3}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{13}\times 2-\frac{2}{13}\times 2\\\frac{2}{13}\times 2+\frac{3}{13}\times 2\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\\\frac{10}{13}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة a وb.

$$a=\frac{2}{13},b=\frac{10}{13}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$3a+2b=2,-2a+3b=2$$

لجعل 3a و-2a متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 3.

$$-2\times 3a-2\times 2b=-2\times 2,3\left(-2\right)a+3\times 3b=3\times 2$$

تبسيط.

$$-6a-4b=-4,-6a+9b=6$$

اطرح -6a+9b=6 من -6a-4b=-4 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-6a+6a-4b-9b=-4-6$$

اجمع -6a مع 6a. حذف الحدين -6a و6a، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-4b-9b=-4-6$$

اجمع -4b مع -9b.

$$-13b=-4-6$$

اجمع -4 مع -6.

$$-13b=-10$$

قسمة طرفي المعادلة على -13.

$$b=\frac{10}{13}$$

عوّض عن b بالقيمة \frac{10}{13} في -2a+3b=2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة a مباشرةً.

$$-2a+3\times \frac{10}{13}=2$$

اضرب 3 في \frac{10}{13}.

$$-2a+\frac{30}{13}=2$$

اطرح \frac{30}{13} من طرفي المعادلة.

$$-2a=-\frac{4}{13}$$

قسمة طرفي المعادلة على -2.

$$a=\frac{2}{13}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$a=\frac{2}{13},b=\frac{10}{13}$$