حل {l}{3A-13c=-255}{31A-6c=-180}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 A - 13 c = - 255 } \\ { 31 A - 6 c = - 180 } \end{array} \right.$$

حل مسائل A، c

$$A = -\frac{162}{77} = -2\frac{8}{77} \approx -2.103896104$$

$$c = \frac{1473}{77} = 19\frac{10}{77} \approx 19.12987013$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$3A-13c=-255,31A-6c=-180$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة A بعزل A على يسار علامة التساوي.

$$3A-13c=-255$$

أضف 13c إلى طرفي المعادلة.

$$3A=13c-255$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$A=\frac{1}{3}\left(13c-255\right)$$

اضرب \frac{1}{3} في 13c-255.

$$A=\frac{13}{3}c-85$$

عوّض عن A بالقيمة \frac{13c}{3}-85 في المعادلة الأخرى، 31A-6c=-180.

$$31\left(\frac{13}{3}c-85\right)-6c=-180$$

اضرب 31 في \frac{13c}{3}-85.

$$\frac{403}{3}c-2635-6c=-180$$

اجمع \frac{403c}{3} مع -6c.

$$\frac{385}{3}c-2635=-180$$

أضف 2635 إلى طرفي المعادلة.

$$\frac{385}{3}c=2455$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{385}{3}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$c=\frac{1473}{77}$$

عوّض عن c بالقيمة \frac{1473}{77} في A=\frac{13}{3}c-85. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة A مباشرةً.

$$A=\frac{13}{3}\times \frac{1473}{77}-85$$

اضرب \frac{13}{3} في \frac{1473}{77} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$A=\frac{6383}{77}-85$$

اجمع -85 مع \frac{6383}{77}.

$$A=-\frac{162}{77}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$A=-\frac{162}{77},c=\frac{1473}{77}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$3A-13c=-255,31A-6c=-180$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{3\left(-6\right)-\left(-13\times 31\right)}&-\frac{-13}{3\left(-6\right)-\left(-13\times 31\right)}\\-\frac{31}{3\left(-6\right)-\left(-13\times 31\right)}&\frac{3}{3\left(-6\right)-\left(-13\times 31\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{385}&\frac{13}{385}\\-\frac{31}{385}&\frac{3}{385}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{385}\left(-255\right)+\frac{13}{385}\left(-180\right)\\-\frac{31}{385}\left(-255\right)+\frac{3}{385}\left(-180\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{162}{77}\\\frac{1473}{77}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة A وc.

$$A=-\frac{162}{77},c=\frac{1473}{77}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$3A-13c=-255,31A-6c=-180$$

لجعل 3A و31A متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 31 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 3.

$$31\times 3A+31\left(-13\right)c=31\left(-255\right),3\times 31A+3\left(-6\right)c=3\left(-180\right)$$

تبسيط.

$$93A-403c=-7905,93A-18c=-540$$

اطرح 93A-18c=-540 من 93A-403c=-7905 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$93A-93A-403c+18c=-7905+540$$

اجمع 93A مع -93A. حذف الحدين 93A و-93A، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-403c+18c=-7905+540$$

اجمع -403c مع 18c.

$$-385c=-7905+540$$

اجمع -7905 مع 540.

$$-385c=-7365$$

قسمة طرفي المعادلة على -385.

$$c=\frac{1473}{77}$$

عوّض عن c بالقيمة \frac{1473}{77} في 31A-6c=-180. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة A مباشرةً.

$$31A-6\times \frac{1473}{77}=-180$$

اضرب -6 في \frac{1473}{77}.

$$31A-\frac{8838}{77}=-180$$

أضف \frac{8838}{77} إلى طرفي المعادلة.

$$31A=-\frac{5022}{77}$$

قسمة طرفي المعادلة على 31.

$$A=-\frac{162}{77}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$A=-\frac{162}{77},c=\frac{1473}{77}$$