حل {l}{3/2x+7/3y=1}{1/4x-7/6y=-3/2}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 / 2 x + 7 / 3 y = 1 } \\ { 1 / 4 x - 7 / 6 y = - 3 / 2 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-1$$

$$y = \frac{15}{14} = 1\frac{1}{14} \approx 1.071428571$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$\frac{3}{2}x+\frac{7}{3}y=1,\frac{1}{4}x-\frac{7}{6}y=-\frac{3}{2}$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$\frac{3}{2}x+\frac{7}{3}y=1$$

اطرح \frac{7y}{3} من طرفي المعادلة.

$$\frac{3}{2}x=-\frac{7}{3}y+1$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{3}{2}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$x=\frac{2}{3}\left(-\frac{7}{3}y+1\right)$$

اضرب \frac{2}{3} في -\frac{7y}{3}+1.

$$x=-\frac{14}{9}y+\frac{2}{3}$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{14y}{9}+\frac{2}{3} في المعادلة الأخرى، \frac{1}{4}x-\frac{7}{6}y=-\frac{3}{2}.

$$\frac{1}{4}\left(-\frac{14}{9}y+\frac{2}{3}\right)-\frac{7}{6}y=-\frac{3}{2}$$

اضرب \frac{1}{4} في -\frac{14y}{9}+\frac{2}{3}.

$$-\frac{7}{18}y+\frac{1}{6}-\frac{7}{6}y=-\frac{3}{2}$$

اجمع -\frac{7y}{18} مع -\frac{7y}{6}.

$$-\frac{14}{9}y+\frac{1}{6}=-\frac{3}{2}$$

اطرح \frac{1}{6} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{14}{9}y=-\frac{5}{3}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{14}{9}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=\frac{15}{14}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{15}{14} في x=-\frac{14}{9}y+\frac{2}{3}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{14}{9}\times \frac{15}{14}+\frac{2}{3}$$

اضرب -\frac{14}{9} في \frac{15}{14} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{-5+2}{3}$$

اجمع \frac{2}{3} مع -\frac{5}{3} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-1,y=\frac{15}{14}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$\frac{3}{2}x+\frac{7}{3}y=1,\frac{1}{4}x-\frac{7}{6}y=-\frac{3}{2}$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&\frac{7}{3}\\\frac{1}{4}&-\frac{7}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&\frac{7}{3}\\\frac{1}{4}&-\frac{7}{6}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&\frac{7}{3}\\\frac{1}{4}&-\frac{7}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&\frac{7}{3}\\\frac{1}{4}&-\frac{7}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&\frac{7}{3}\\\frac{1}{4}&-\frac{7}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&\frac{7}{3}\\\frac{1}{4}&-\frac{7}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&\frac{7}{3}\\\frac{1}{4}&-\frac{7}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{7}{6}}{\frac{3}{2}\left(-\frac{7}{6}\right)-\frac{7}{3}\times \frac{1}{4}}&-\frac{\frac{7}{3}}{\frac{3}{2}\left(-\frac{7}{6}\right)-\frac{7}{3}\times \frac{1}{4}}\\-\frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{2}\left(-\frac{7}{6}\right)-\frac{7}{3}\times \frac{1}{4}}&\frac{\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}\left(-\frac{7}{6}\right)-\frac{7}{3}\times \frac{1}{4}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&1\\\frac{3}{28}&-\frac{9}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1-3}{2}\\\frac{3}{28}-\frac{9}{14}\left(-\frac{3}{2}\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\\frac{15}{14}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-1,y=\frac{15}{14}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$\frac{3}{2}x+\frac{7}{3}y=1,\frac{1}{4}x-\frac{7}{6}y=-\frac{3}{2}$$

لجعل \frac{3x}{2} و\frac{x}{4} متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في \frac{1}{4} وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في \frac{3}{2}.

$$\frac{1}{4}\times \frac{3}{2}x+\frac{1}{4}\times \frac{7}{3}y=\frac{1}{4},\frac{3}{2}\times \frac{1}{4}x+\frac{3}{2}\left(-\frac{7}{6}\right)y=\frac{3}{2}\left(-\frac{3}{2}\right)$$

تبسيط.

$$\frac{3}{8}x+\frac{7}{12}y=\frac{1}{4},\frac{3}{8}x-\frac{7}{4}y=-\frac{9}{4}$$

اطرح \frac{3}{8}x-\frac{7}{4}y=-\frac{9}{4} من \frac{3}{8}x+\frac{7}{12}y=\frac{1}{4} عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$\frac{3}{8}x-\frac{3}{8}x+\frac{7}{12}y+\frac{7}{4}y=\frac{1+9}{4}$$

اجمع \frac{3x}{8} مع -\frac{3x}{8}. حذف الحدين \frac{3x}{8} و-\frac{3x}{8}، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$\frac{7}{12}y+\frac{7}{4}y=\frac{1+9}{4}$$

اجمع \frac{7y}{12} مع \frac{7y}{4}.

$$\frac{7}{3}y=\frac{1+9}{4}$$

اجمع \frac{1}{4} مع \frac{9}{4} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$\frac{7}{3}y=\frac{5}{2}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{7}{3}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=\frac{15}{14}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{15}{14} في \frac{1}{4}x-\frac{7}{6}y=-\frac{3}{2}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$\frac{1}{4}x-\frac{7}{6}\times \frac{15}{14}=-\frac{3}{2}$$

اضرب -\frac{7}{6} في \frac{15}{14} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$\frac{1}{4}x-\frac{5}{4}=-\frac{3}{2}$$

أضف \frac{5}{4} إلى طرفي المعادلة.

$$\frac{1}{4}x=-\frac{1}{4}$$

ضرب طرفي المعادلة في 4.

$$x=-1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-1,y=\frac{15}{14}$$