حل {l}{25x+y=9}{1.6x+0.2y=13}

$$\left. \begin{array} { l } { 25 x + y = 9 } \\ { 1.6 x + 0.2 y = 13 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = -\frac{56}{17} = -3\frac{5}{17} \approx -3.294117647$$

$$y = \frac{1553}{17} = 91\frac{6}{17} \approx 91.352941176$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$25x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$25x+y=9$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$25x=-y+9$$

قسمة طرفي المعادلة على 25.

$$x=\frac{1}{25}\left(-y+9\right)$$

اضرب \frac{1}{25} في -y+9.

$$x=-\frac{1}{25}y+\frac{9}{25}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-y+9}{25} في المعادلة الأخرى، 1.6x+0.2y=13.

$$1.6\left(-\frac{1}{25}y+\frac{9}{25}\right)+0.2y=13$$

اضرب 1.6 في \frac{-y+9}{25}.

$$-\frac{8}{125}y+\frac{72}{125}+0.2y=13$$

اجمع -\frac{8y}{125} مع \frac{y}{5}.

$$\frac{17}{125}y+\frac{72}{125}=13$$

اطرح \frac{72}{125} من طرفي المعادلة.

$$\frac{17}{125}y=\frac{1553}{125}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{17}{125}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=\frac{1553}{17}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{1553}{17} في x=-\frac{1}{25}y+\frac{9}{25}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{1}{25}\times \frac{1553}{17}+\frac{9}{25}$$

اضرب -\frac{1}{25} في \frac{1553}{17} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{1553}{425}+\frac{9}{25}$$

اجمع \frac{9}{25} مع -\frac{1553}{425} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{56}{17}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{56}{17},y=\frac{1553}{17}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$25x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}25&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}25&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}25&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.2}{25\times 0.2-1.6}&-\frac{1}{25\times 0.2-1.6}\\-\frac{1.6}{25\times 0.2-1.6}&\frac{25}{25\times 0.2-1.6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}&-\frac{5}{17}\\-\frac{8}{17}&\frac{125}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}\times 9-\frac{5}{17}\times 13\\-\frac{8}{17}\times 9+\frac{125}{17}\times 13\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{56}{17}\\\frac{1553}{17}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-\frac{56}{17},y=\frac{1553}{17}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$25x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

لجعل 25x و\frac{8x}{5} متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 1.6 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 25.

$$1.6\times 25x+1.6y=1.6\times 9,25\times 1.6x+25\times 0.2y=25\times 13$$

تبسيط.

$$40x+1.6y=14.4,40x+5y=325$$

اطرح 40x+5y=325 من 40x+1.6y=14.4 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$40x-40x+1.6y-5y=14.4-325$$

اجمع 40x مع -40x. حذف الحدين 40x و-40x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$1.6y-5y=14.4-325$$

اجمع \frac{8y}{5} مع -5y.

$$-3.4y=14.4-325$$

اجمع 14.4 مع -325.

$$-3.4y=-310.6$$

اقسم طرفي المعادلة على -3.4، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=\frac{1553}{17}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{1553}{17} في 1.6x+0.2y=13. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$1.6x+0.2\times \frac{1553}{17}=13$$

اضرب 0.2 في \frac{1553}{17} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$1.6x+\frac{1553}{85}=13$$

اطرح \frac{1553}{85} من طرفي المعادلة.

$$1.6x=-\frac{448}{85}$$

اقسم طرفي المعادلة على 1.6، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$x=-\frac{56}{17}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{56}{17},y=\frac{1553}{17}$$