حل {l}{25c+22T=152000}{11c+12T=75000}

$$\left. \begin{array} { l } { 25 c + 22 T = 152000 } \\ { 11 c + 12 T = 75000 } \end{array} \right.$$

حل مسائل c، T

$$c=3000$$

$$T=3500$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$25c+22T=152000,11c+12T=75000$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة c بعزل c على يسار علامة التساوي.

$$25c+22T=152000$$

اطرح 22T من طرفي المعادلة.

$$25c=-22T+152000$$

قسمة طرفي المعادلة على 25.

$$c=\frac{1}{25}\left(-22T+152000\right)$$

اضرب \frac{1}{25} في -22T+152000.

$$c=-\frac{22}{25}T+6080$$

عوّض عن c بالقيمة -\frac{22T}{25}+6080 في المعادلة الأخرى، 11c+12T=75000.

$$11\left(-\frac{22}{25}T+6080\right)+12T=75000$$

اضرب 11 في -\frac{22T}{25}+6080.

$$-\frac{242}{25}T+66880+12T=75000$$

اجمع -\frac{242T}{25} مع 12T.

$$\frac{58}{25}T+66880=75000$$

اطرح 66880 من طرفي المعادلة.

$$\frac{58}{25}T=8120$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{58}{25}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$T=3500$$

عوّض عن T بالقيمة 3500 في c=-\frac{22}{25}T+6080. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة c مباشرةً.

$$c=-\frac{22}{25}\times 3500+6080$$

اضرب -\frac{22}{25} في 3500.

$$c=-3080+6080$$

اجمع 6080 مع -3080.

$$c=3000$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$c=3000,T=3500$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$25c+22T=152000,11c+12T=75000$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}152000\\75000\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}152000\\75000\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}152000\\75000\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}152000\\75000\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{25\times 12-22\times 11}&-\frac{22}{25\times 12-22\times 11}\\-\frac{11}{25\times 12-22\times 11}&\frac{25}{25\times 12-22\times 11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}152000\\75000\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{29}&-\frac{11}{29}\\-\frac{11}{58}&\frac{25}{58}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}152000\\75000\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{29}\times 152000-\frac{11}{29}\times 75000\\-\frac{11}{58}\times 152000+\frac{25}{58}\times 75000\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3000\\3500\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة c وT.

$$c=3000,T=3500$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$25c+22T=152000,11c+12T=75000$$

لجعل 25c و11c متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 11 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 25.

$$11\times 25c+11\times 22T=11\times 152000,25\times 11c+25\times 12T=25\times 75000$$

تبسيط.

$$275c+242T=1672000,275c+300T=1875000$$

اطرح 275c+300T=1875000 من 275c+242T=1672000 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$275c-275c+242T-300T=1672000-1875000$$

اجمع 275c مع -275c. حذف الحدين 275c و-275c، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$242T-300T=1672000-1875000$$

اجمع 242T مع -300T.

$$-58T=1672000-1875000$$

اجمع 1672000 مع -1875000.

$$-58T=-203000$$

قسمة طرفي المعادلة على -58.

$$T=3500$$

عوّض عن T بالقيمة 3500 في 11c+12T=75000. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة c مباشرةً.

$$11c+12\times 3500=75000$$

اضرب 12 في 3500.

$$11c+42000=75000$$

اطرح 42000 من طرفي المعادلة.

$$11c=33000$$

قسمة طرفي المعادلة على 11.

$$c=3000$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$c=3000,T=3500$$