حل {l}{22x+y=50}{27x-y=96}

$$\left. \begin{array} { l } { 22 x + y = 50 } \\ { 27 x - y = 96 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{146}{49} = 2\frac{48}{49} \approx 2.979591837$$

$$y = -\frac{762}{49} = -15\frac{27}{49} \approx -15.551020408$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$22x+y=50,27x-y=96$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$22x+y=50$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$22x=-y+50$$

قسمة طرفي المعادلة على 22.

$$x=\frac{1}{22}\left(-y+50\right)$$

اضرب \frac{1}{22} في -y+50.

$$x=-\frac{1}{22}y+\frac{25}{11}$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{y}{22}+\frac{25}{11} في المعادلة الأخرى، 27x-y=96.

$$27\left(-\frac{1}{22}y+\frac{25}{11}\right)-y=96$$

اضرب 27 في -\frac{y}{22}+\frac{25}{11}.

$$-\frac{27}{22}y+\frac{675}{11}-y=96$$

اجمع -\frac{27y}{22} مع -y.

$$-\frac{49}{22}y+\frac{675}{11}=96$$

اطرح \frac{675}{11} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{49}{22}y=\frac{381}{11}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{49}{22}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-\frac{762}{49}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{762}{49} في x=-\frac{1}{22}y+\frac{25}{11}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{1}{22}\left(-\frac{762}{49}\right)+\frac{25}{11}$$

اضرب -\frac{1}{22} في -\frac{762}{49} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{381}{539}+\frac{25}{11}$$

اجمع \frac{25}{11} مع \frac{381}{539} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{146}{49}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{146}{49},y=-\frac{762}{49}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$22x+y=50,27x-y=96$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}22&1\\27&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50\\96\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}22&1\\27&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}22&1\\27&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22&1\\27&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}22&1\\27&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\96\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}22&1\\27&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\96\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}22&1\\27&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\96\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{22\left(-1\right)-27}&-\frac{1}{22\left(-1\right)-27}\\-\frac{27}{22\left(-1\right)-27}&\frac{22}{22\left(-1\right)-27}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\96\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{49}&\frac{1}{49}\\\frac{27}{49}&-\frac{22}{49}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\96\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{49}\times 50+\frac{1}{49}\times 96\\\frac{27}{49}\times 50-\frac{22}{49}\times 96\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{146}{49}\\-\frac{762}{49}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{146}{49},y=-\frac{762}{49}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$22x+y=50,27x-y=96$$

لجعل 22x و27x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 27 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 22.

$$27\times 22x+27y=27\times 50,22\times 27x+22\left(-1\right)y=22\times 96$$

تبسيط.

$$594x+27y=1350,594x-22y=2112$$

اطرح 594x-22y=2112 من 594x+27y=1350 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$594x-594x+27y+22y=1350-2112$$

اجمع 594x مع -594x. حذف الحدين 594x و-594x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$27y+22y=1350-2112$$

اجمع 27y مع 22y.

$$49y=1350-2112$$

اجمع 1350 مع -2112.

$$49y=-762$$

قسمة طرفي المعادلة على 49.

$$y=-\frac{762}{49}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{762}{49} في 27x-y=96. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$27x-\left(-\frac{762}{49}\right)=96$$

اطرح \frac{762}{49} من طرفي المعادلة.

$$27x=\frac{3942}{49}$$

قسمة طرفي المعادلة على 27.

$$x=\frac{146}{49}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{146}{49},y=-\frac{762}{49}$$