حل {l}{2.5x+2.5y=17}{-1.5x-7.5y=-33}

$$\left. \begin{array} { l } { 2.5 x + 2.5 y = 17 } \\ { - 1.5 x - 7.5 y = - 33 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=3$$

$$y=3.8$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2.5x+2.5y=17,-1.5x-7.5y=-33$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2.5x+2.5y=17$$

اطرح \frac{5y}{2} من طرفي المعادلة.

$$2.5x=-2.5y+17$$

اقسم طرفي المعادلة على 2.5، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$x=0.4\left(-2.5y+17\right)$$

اضرب 0.4 في -\frac{5y}{2}+17.

$$x=-y+6.8$$

عوّض عن x بالقيمة -y+6.8 في المعادلة الأخرى، -1.5x-7.5y=-33.

$$-1.5\left(-y+6.8\right)-7.5y=-33$$

اضرب -1.5 في -y+6.8.

$$1.5y-10.2-7.5y=-33$$

اجمع \frac{3y}{2} مع -\frac{15y}{2}.

$$-6y-10.2=-33$$

أضف 10.2 إلى طرفي المعادلة.

$$-6y=-22.8$$

قسمة طرفي المعادلة على -6.

$$y=3.8$$

عوّض عن y بالقيمة 3.8 في x=-y+6.8. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-3.8+6.8$$

اضرب -1 في 3.8.

$$x=\frac{-19+34}{5}$$

اجمع 6.8 مع -3.8 من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=3$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=3,y=3.8$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2.5x+2.5y=17,-1.5x-7.5y=-33$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2.5&2.5\\-1.5&-7.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\-33\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2.5&2.5\\-1.5&-7.5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2.5&2.5\\-1.5&-7.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2.5&2.5\\-1.5&-7.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2.5&2.5\\-1.5&-7.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-33\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2.5&2.5\\-1.5&-7.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-33\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2.5&2.5\\-1.5&-7.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-33\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7.5}{2.5\left(-7.5\right)-2.5\left(-1.5\right)}&-\frac{2.5}{2.5\left(-7.5\right)-2.5\left(-1.5\right)}\\-\frac{-1.5}{2.5\left(-7.5\right)-2.5\left(-1.5\right)}&\frac{2.5}{2.5\left(-7.5\right)-2.5\left(-1.5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\-33\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{6}\\-\frac{1}{10}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\-33\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 17+\frac{1}{6}\left(-33\right)\\-\frac{1}{10}\times 17-\frac{1}{6}\left(-33\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\\frac{19}{5}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=3,y=\frac{19}{5}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2.5x+2.5y=17,-1.5x-7.5y=-33$$

لجعل \frac{5x}{2} و-\frac{3x}{2} متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -1.5 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.5.

$$-1.5\times 2.5x-1.5\times 2.5y=-1.5\times 17,2.5\left(-1.5\right)x+2.5\left(-7.5\right)y=2.5\left(-33\right)$$

تبسيط.

$$-3.75x-3.75y=-25.5,-3.75x-18.75y=-82.5$$

اطرح -3.75x-18.75y=-82.5 من -3.75x-3.75y=-25.5 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-3.75x+3.75x-3.75y+18.75y=\frac{-51+165}{2}$$

اجمع -\frac{15x}{4} مع \frac{15x}{4}. حذف الحدين -\frac{15x}{4} و\frac{15x}{4}، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-3.75y+18.75y=\frac{-51+165}{2}$$

اجمع -\frac{15y}{4} مع \frac{75y}{4}.

$$15y=\frac{-51+165}{2}$$

اجمع -25.5 مع 82.5 من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$15y=57$$

قسمة طرفي المعادلة على 15.

$$y=\frac{19}{5}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{19}{5} في -1.5x-7.5y=-33. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-1.5x-7.5\times \frac{19}{5}=-33$$

اضرب -7.5 في \frac{19}{5} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$-1.5x-\frac{57}{2}=-33$$

أضف \frac{57}{2} إلى طرفي المعادلة.

$$-1.5x=-\frac{9}{2}$$

اقسم طرفي المعادلة على -1.5، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$x=3$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=3,y=\frac{19}{5}$$