حل {l}{2y-3x=-27}{5y+3x=6}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 y - 3 x = - 27 } \\ { 5 y + 3 x = 6 } \end{array} \right.$$

حل مسائل y، x

$$x=7$$

$$y=-3$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2y-3x=-27,5y+3x=6$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة y بعزل y على يسار علامة التساوي.

$$2y-3x=-27$$

أضف 3x إلى طرفي المعادلة.

$$2y=3x-27$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$y=\frac{1}{2}\left(3x-27\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في -27+3x.

$$y=\frac{3}{2}x-\frac{27}{2}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{-27+3x}{2} في المعادلة الأخرى، 5y+3x=6.

$$5\left(\frac{3}{2}x-\frac{27}{2}\right)+3x=6$$

اضرب 5 في \frac{-27+3x}{2}.

$$\frac{15}{2}x-\frac{135}{2}+3x=6$$

اجمع \frac{15x}{2} مع 3x.

$$\frac{21}{2}x-\frac{135}{2}=6$$

أضف \frac{135}{2} إلى طرفي المعادلة.

$$\frac{21}{2}x=\frac{147}{2}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{21}{2}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$x=7$$

عوّض عن x بالقيمة 7 في y=\frac{3}{2}x-\frac{27}{2}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$y=\frac{3}{2}\times 7-\frac{27}{2}$$

اضرب \frac{3}{2} في 7.

$$y=\frac{21-27}{2}$$

اجمع -\frac{27}{2} مع \frac{21}{2} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$y=-3$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=-3,x=7$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2y-3x=-27,5y+3x=6$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-27\\6\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&-3\\5&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-27\\6\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-27\\6\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-27\\6\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-\left(-3\times 5\right)}&-\frac{-3}{2\times 3-\left(-3\times 5\right)}\\-\frac{5}{2\times 3-\left(-3\times 5\right)}&\frac{2}{2\times 3-\left(-3\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-27\\6\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\\-\frac{5}{21}&\frac{2}{21}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-27\\6\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\left(-27\right)+\frac{1}{7}\times 6\\-\frac{5}{21}\left(-27\right)+\frac{2}{21}\times 6\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\7\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة y وx.

$$y=-3,x=7$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2y-3x=-27,5y+3x=6$$

لجعل 2y و5y متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 5 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$5\times 2y+5\left(-3\right)x=5\left(-27\right),2\times 5y+2\times 3x=2\times 6$$

تبسيط.

$$10y-15x=-135,10y+6x=12$$

اطرح 10y+6x=12 من 10y-15x=-135 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$10y-10y-15x-6x=-135-12$$

اجمع 10y مع -10y. حذف الحدين 10y و-10y، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-15x-6x=-135-12$$

اجمع -15x مع -6x.

$$-21x=-135-12$$

اجمع -135 مع -12.

$$-21x=-147$$

قسمة طرفي المعادلة على -21.

$$x=7$$

عوّض عن x بالقيمة 7 في 5y+3x=6. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$5y+3\times 7=6$$

اضرب 3 في 7.

$$5y+21=6$$

اطرح 21 من طرفي المعادلة.

$$5y=-15$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$y=-3$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=-3,x=7$$