حل {l}{2y-2x=-40}{3x+2y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 y - 2 x = - 40 } \\ { 3 x + 2 y = 10 } \end{array} \right.$$

حل مسائل y، x

$$x=10$$

$$y=-10$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2y-2x=-40,2y+3x=10$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة y بعزل y على يسار علامة التساوي.

$$2y-2x=-40$$

أضف 2x إلى طرفي المعادلة.

$$2y=2x-40$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$y=\frac{1}{2}\left(2x-40\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في -40+2x.

$$y=x-20$$

عوّض عن y بالقيمة x-20 في المعادلة الأخرى، 2y+3x=10.

$$2\left(x-20\right)+3x=10$$

اضرب 2 في x-20.

$$2x-40+3x=10$$

اجمع 2x مع 3x.

$$5x-40=10$$

أضف 40 إلى طرفي المعادلة.

$$5x=50$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$x=10$$

عوّض عن x بالقيمة 10 في y=x-20. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$y=10-20$$

اجمع -20 مع 10.

$$y=-10$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=-10,x=10$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2y-2x=-40,2y+3x=10$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&-2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-40\\10\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&-2\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-40\\10\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-40\\10\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-40\\10\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{2\times 3-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{2\times 3-\left(-2\times 2\right)}&\frac{2}{2\times 3-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-40\\10\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}&\frac{1}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-40\\10\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}\left(-40\right)+\frac{1}{5}\times 10\\-\frac{1}{5}\left(-40\right)+\frac{1}{5}\times 10\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\10\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة y وx.

$$y=-10,x=10$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2y-2x=-40,2y+3x=10$$

اطرح 2y+3x=10 من 2y-2x=-40 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$2y-2y-2x-3x=-40-10$$

اجمع 2y مع -2y. حذف الحدين 2y و-2y، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-2x-3x=-40-10$$

اجمع -2x مع -3x.

$$-5x=-40-10$$

اجمع -40 مع -10.

$$-5x=-50$$

قسمة طرفي المعادلة على -5.

$$x=10$$

عوّض عن x بالقيمة 10 في 2y+3x=10. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$2y+3\times 10=10$$

اضرب 3 في 10.

$$2y+30=10$$

اطرح 30 من طرفي المعادلة.

$$2y=-20$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$y=-10$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=-10,x=10$$