حل {l}{2x_{1}+3x_{2}=7}{4x_{1}-4x_{2}=-6}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x _ { 1 } + 3 x _ { 2 } = 7 } \\ { 4 x _ { 1 } - 4 x _ { 2 } = - 6 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x_1، x_2

$$x_{1}=\frac{1}{2}=0.5$$

$$x_{2}=2$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x_{1}+3x_{2}=7,4x_{1}-4x_{2}=-6$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x_{1} بعزل x_{1} على يسار علامة التساوي.

$$2x_{1}+3x_{2}=7$$

اطرح 3x_{2} من طرفي المعادلة.

$$2x_{1}=-3x_{2}+7$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x_{1}=\frac{1}{2}\left(-3x_{2}+7\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في -3x_{2}+7.

$$x_{1}=-\frac{3}{2}x_{2}+\frac{7}{2}$$

عوّض عن x_{1} بالقيمة \frac{-3x_{2}+7}{2} في المعادلة الأخرى، 4x_{1}-4x_{2}=-6.

$$4\left(-\frac{3}{2}x_{2}+\frac{7}{2}\right)-4x_{2}=-6$$

اضرب 4 في \frac{-3x_{2}+7}{2}.

$$-6x_{2}+14-4x_{2}=-6$$

اجمع -6x_{2} مع -4x_{2}.

$$-10x_{2}+14=-6$$

اطرح 14 من طرفي المعادلة.

$$-10x_{2}=-20$$

قسمة طرفي المعادلة على -10.

$$x_{2}=2$$

عوّض عن x_{2} بالقيمة 2 في x_{1}=-\frac{3}{2}x_{2}+\frac{7}{2}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x_{1} مباشرةً.

$$x_{1}=-\frac{3}{2}\times 2+\frac{7}{2}$$

اضرب -\frac{3}{2} في 2.

$$x_{1}=-3+\frac{7}{2}$$

اجمع \frac{7}{2} مع -3.

$$x_{1}=\frac{1}{2}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=2$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x_{1}+3x_{2}=7,4x_{1}-4x_{2}=-6$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

في المصفوفة 2\times 2 في هذا المثال \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة هي \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمسألة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{2\left(-4\right)-3\times 4}&-\frac{3}{2\left(-4\right)-3\times 4}\\-\frac{4}{2\left(-4\right)-3\times 4}&\frac{2}{2\left(-4\right)-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{3}{20}\\\frac{1}{5}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 7+\frac{3}{20}\left(-6\right)\\\frac{1}{5}\times 7-\frac{1}{10}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\2\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x_{1} وx_{2}.

$$x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=2$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x_{1}+3x_{2}=7,4x_{1}-4x_{2}=-6$$

لجعل 2x_{1} و4x_{1} متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 4 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$4\times 2x_{1}+4\times 3x_{2}=4\times 7,2\times 4x_{1}+2\left(-4\right)x_{2}=2\left(-6\right)$$

تبسيط.

$$8x_{1}+12x_{2}=28,8x_{1}-8x_{2}=-12$$

اطرح 8x_{1}-8x_{2}=-12 من 8x_{1}+12x_{2}=28 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$8x_{1}-8x_{1}+12x_{2}+8x_{2}=28+12$$

اجمع 8x_{1} مع -8x_{1}. حذف الحدين 8x_{1} و-8x_{1}، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$12x_{2}+8x_{2}=28+12$$

اجمع 12x_{2} مع 8x_{2}.

$$20x_{2}=28+12$$

اجمع 28 مع 12.

$$20x_{2}=40$$

قسمة طرفي المعادلة على 20.

$$x_{2}=2$$

عوّض عن x_{2} بالقيمة 2 في 4x_{1}-4x_{2}=-6. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x_{1} مباشرةً.

$$4x_{1}-4\times 2=-6$$

اضرب -4 في 2.

$$4x_{1}-8=-6$$

أضف 8 إلى طرفي المعادلة.

$$4x_{1}=2$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x_{1}=\frac{1}{2}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=2$$