حل {l}{2x-y=8}{x+2y=29}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - y = 8 } \\ { x + 2 y = 29 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=9$$

$$y=10$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x-y=8,x+2y=29$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x-y=8$$

أضف y إلى طرفي المعادلة.

$$2x=y+8$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+8\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في y+8.

$$x=\frac{1}{2}y+4$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{y}{2}+4 في المعادلة الأخرى، x+2y=29.

$$\frac{1}{2}y+4+2y=29$$

اجمع \frac{y}{2} مع 2y.

$$\frac{5}{2}y+4=29$$

اطرح 4 من طرفي المعادلة.

$$\frac{5}{2}y=25$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{5}{2}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=10$$

عوّض عن y بالقيمة 10 في x=\frac{1}{2}y+4. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{1}{2}\times 10+4$$

اضرب \frac{1}{2} في 10.

$$x=5+4$$

اجمع 4 مع 5.

$$x=9$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=9,y=10$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x-y=8,x+2y=29$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\29\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&-1\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\29\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\29\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\29\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{2\times 2-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{2\times 2-\left(-1\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\29\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\29\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 8+\frac{1}{5}\times 29\\-\frac{1}{5}\times 8+\frac{2}{5}\times 29\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\10\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=9,y=10$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x-y=8,x+2y=29$$

لجعل 2x وx متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$2x-y=8,2x+2\times 2y=2\times 29$$

تبسيط.

$$2x-y=8,2x+4y=58$$

اطرح 2x+4y=58 من 2x-y=8 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$2x-2x-y-4y=8-58$$

اجمع 2x مع -2x. حذف الحدين 2x و-2x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-y-4y=8-58$$

اجمع -y مع -4y.

$$-5y=8-58$$

اجمع 8 مع -58.

$$-5y=-50$$

قسمة طرفي المعادلة على -5.

$$y=10$$

عوّض عن y بالقيمة 10 في x+2y=29. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x+2\times 10=29$$

اضرب 2 في 10.

$$x+20=29$$

اطرح 20 من طرفي المعادلة.

$$x=9$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=9,y=10$$