حل {l}{2x-y=6}{4x+3y=-3}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - y = 6 } \\ { 4 x + 3 y = - 3 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

$$y=-3$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x-y=6,4x+3y=-3$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x-y=6$$

أضف y إلى طرفي المعادلة.

$$2x=y+6$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+6\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في y+6.

$$x=\frac{1}{2}y+3$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{y}{2}+3 في المعادلة الأخرى، 4x+3y=-3.

$$4\left(\frac{1}{2}y+3\right)+3y=-3$$

اضرب 4 في \frac{y}{2}+3.

$$2y+12+3y=-3$$

اجمع 2y مع 3y.

$$5y+12=-3$$

اطرح 12 من طرفي المعادلة.

$$5y=-15$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$y=-3$$

عوّض عن y بالقيمة -3 في x=\frac{1}{2}y+3. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3\right)+3$$

اضرب \frac{1}{2} في -3.

$$x=-\frac{3}{2}+3$$

اجمع 3 مع -\frac{3}{2}.

$$x=\frac{3}{2}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{3}{2},y=-3$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x-y=6,4x+3y=-3$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-3\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&-1\\4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-3\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-3\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-3\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-\left(-4\right)}&-\frac{-1}{2\times 3-\left(-4\right)}\\-\frac{4}{2\times 3-\left(-4\right)}&\frac{2}{2\times 3-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-3\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}&\frac{1}{10}\\-\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-3\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}\times 6+\frac{1}{10}\left(-3\right)\\-\frac{2}{5}\times 6+\frac{1}{5}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\-3\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{3}{2},y=-3$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x-y=6,4x+3y=-3$$

لجعل 2x و4x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 4 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$4\times 2x+4\left(-1\right)y=4\times 6,2\times 4x+2\times 3y=2\left(-3\right)$$

تبسيط.

$$8x-4y=24,8x+6y=-6$$

اطرح 8x+6y=-6 من 8x-4y=24 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$8x-8x-4y-6y=24+6$$

اجمع 8x مع -8x. حذف الحدين 8x و-8x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-4y-6y=24+6$$

اجمع -4y مع -6y.

$$-10y=24+6$$

اجمع 24 مع 6.

$$-10y=30$$

قسمة طرفي المعادلة على -10.

$$y=-3$$

عوّض عن y بالقيمة -3 في 4x+3y=-3. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$4x+3\left(-3\right)=-3$$

اضرب 3 في -3.

$$4x-9=-3$$

أضف 9 إلى طرفي المعادلة.

$$4x=6$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=\frac{3}{2}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{3}{2},y=-3$$