حل {l}{2x-y=17.522}{x+3y=-5.618}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - y = 17.522 } \\ { x + 3 y = - 5.618 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{11737}{1750} = 6\frac{1237}{1750} \approx 6.706857143$$

$$y = -\frac{14379}{3500} = -4\frac{379}{3500} \approx -4.108285714$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x-y=17.522,x+3y=-5.618$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x-y=17.522$$

أضف y إلى طرفي المعادلة.

$$2x=y+17.522$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+17.522\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في y+17.522.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{8761}{1000}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{y}{2}+\frac{8761}{1000} في المعادلة الأخرى، x+3y=-5.618.

$$\frac{1}{2}y+\frac{8761}{1000}+3y=-5.618$$

اجمع \frac{y}{2} مع 3y.

$$\frac{7}{2}y+\frac{8761}{1000}=-5.618$$

اطرح \frac{8761}{1000} من طرفي المعادلة.

$$\frac{7}{2}y=-\frac{14379}{1000}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{7}{2}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-\frac{14379}{3500}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{14379}{3500} في x=\frac{1}{2}y+\frac{8761}{1000}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{1}{2}\left(-\frac{14379}{3500}\right)+\frac{8761}{1000}$$

اضرب \frac{1}{2} في -\frac{14379}{3500} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{14379}{7000}+\frac{8761}{1000}$$

اجمع \frac{8761}{1000} مع -\frac{14379}{7000} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{11737}{1750}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{11737}{1750},y=-\frac{14379}{3500}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x-y=17.522,x+3y=-5.618$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17.522\\-5.618\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&-1\\1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17.522\\-5.618\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17.522\\-5.618\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17.522\\-5.618\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{2\times 3-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{2\times 3-\left(-1\right)}&\frac{2}{2\times 3-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17.522\\-5.618\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&\frac{1}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17.522\\-5.618\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\times 17.522+\frac{1}{7}\left(-5.618\right)\\-\frac{1}{7}\times 17.522+\frac{2}{7}\left(-5.618\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11737}{1750}\\-\frac{14379}{3500}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{11737}{1750},y=-\frac{14379}{3500}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x-y=17.522,x+3y=-5.618$$

لجعل 2x وx متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$2x-y=17.522,2x+2\times 3y=2\left(-5.618\right)$$

تبسيط.

$$2x-y=17.522,2x+6y=-11.236$$

اطرح 2x+6y=-11.236 من 2x-y=17.522 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$2x-2x-y-6y=17.522+11.236$$

اجمع 2x مع -2x. حذف الحدين 2x و-2x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-y-6y=17.522+11.236$$

اجمع -y مع -6y.

$$-7y=17.522+11.236$$

اجمع 17.522 مع 11.236 من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$-7y=28.758$$

قسمة طرفي المعادلة على -7.

$$y=-\frac{14379}{3500}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{14379}{3500} في x+3y=-5.618. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x+3\left(-\frac{14379}{3500}\right)=-5.618$$

اضرب 3 في -\frac{14379}{3500}.

$$x-\frac{43137}{3500}=-5.618$$

أضف \frac{43137}{3500} إلى طرفي المعادلة.

$$x=\frac{11737}{1750}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{11737}{1750},y=-\frac{14379}{3500}$$