حل {l}{2x-y=13}{-2x-5y=17}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - y = 13 } \\ { - 2 x - 5 y = 17 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=4$$

$$y=-5$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x-y=13,-2x-5y=17$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x-y=13$$

أضف y إلى طرفي المعادلة.

$$2x=y+13$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+13\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في y+13.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{13}{2}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{13+y}{2} في المعادلة الأخرى، -2x-5y=17.

$$-2\left(\frac{1}{2}y+\frac{13}{2}\right)-5y=17$$

اضرب -2 في \frac{13+y}{2}.

$$-y-13-5y=17$$

اجمع -y مع -5y.

$$-6y-13=17$$

أضف 13 إلى طرفي المعادلة.

$$-6y=30$$

قسمة طرفي المعادلة على -6.

$$y=-5$$

عوّض عن y بالقيمة -5 في x=\frac{1}{2}y+\frac{13}{2}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5\right)+\frac{13}{2}$$

اضرب \frac{1}{2} في -5.

$$x=\frac{-5+13}{2}$$

اجمع \frac{13}{2} مع -\frac{5}{2} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=4$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=4,y=-5$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x-y=13,-2x-5y=17$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\-2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\17\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&-1\\-2&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\-2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\17\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\17\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\17\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2\left(-5\right)-\left(-\left(-2\right)\right)}&-\frac{-1}{2\left(-5\right)-\left(-\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{2\left(-5\right)-\left(-\left(-2\right)\right)}&\frac{2}{2\left(-5\right)-\left(-\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\17\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{12}&-\frac{1}{12}\\-\frac{1}{6}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\17\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{12}\times 13-\frac{1}{12}\times 17\\-\frac{1}{6}\times 13-\frac{1}{6}\times 17\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-5\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=4,y=-5$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x-y=13,-2x-5y=17$$

لجعل 2x و-2x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$-2\times 2x-2\left(-1\right)y=-2\times 13,2\left(-2\right)x+2\left(-5\right)y=2\times 17$$

تبسيط.

$$-4x+2y=-26,-4x-10y=34$$

اطرح -4x-10y=34 من -4x+2y=-26 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-4x+4x+2y+10y=-26-34$$

اجمع -4x مع 4x. حذف الحدين -4x و4x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$2y+10y=-26-34$$

اجمع 2y مع 10y.

$$12y=-26-34$$

اجمع -26 مع -34.

$$12y=-60$$

قسمة طرفي المعادلة على 12.

$$y=-5$$

عوّض عن y بالقيمة -5 في -2x-5y=17. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-2x-5\left(-5\right)=17$$

اضرب -5 في -5.

$$-2x+25=17$$

اطرح 25 من طرفي المعادلة.

$$-2x=-8$$

قسمة طرفي المعادلة على -2.

$$x=4$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=4,y=-5$$