حل {l}{2x-8=y-4}{8x-2y=18}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 8 = y - 4 } \\ { 8 x - 2 y = 18 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

$$y=1$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح y من الطرفين.

$$2x-8-y=-4$$

إضافة 8 لكلا الجانبين.

$$2x-y=-4+8$$

اجمع -4 مع 8 لتحصل على 4.

$$2x-y=4$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x-y=4,8x-2y=18$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x-y=4$$

أضف y إلى طرفي المعادلة.

$$2x=y+4$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+4\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في y+4.

$$x=\frac{1}{2}y+2$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{y}{2}+2 في المعادلة الأخرى، 8x-2y=18.

$$8\left(\frac{1}{2}y+2\right)-2y=18$$

اضرب 8 في \frac{y}{2}+2.

$$4y+16-2y=18$$

اجمع 4y مع -2y.

$$2y+16=18$$

اطرح 16 من طرفي المعادلة.

$$2y=2$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$y=1$$

عوّض عن y بالقيمة 1 في x=\frac{1}{2}y+2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{1}{2}+2$$

اجمع 2 مع \frac{1}{2}.

$$x=\frac{5}{2}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{5}{2},y=1$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح y من الطرفين.

$$2x-8-y=-4$$

إضافة 8 لكلا الجانبين.

$$2x-y=-4+8$$

اجمع -4 مع 8 لتحصل على 4.

$$2x-y=4$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x-y=4,8x-2y=18$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\8&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&-1\\8&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\8&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\8&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\8&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\8&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\8&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-8\right)}&-\frac{-1}{2\left(-2\right)-\left(-8\right)}\\-\frac{8}{2\left(-2\right)-\left(-8\right)}&\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\\-2&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 4+\frac{1}{4}\times 18\\-2\times 4+\frac{1}{2}\times 18\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\1\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{5}{2},y=1$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح y من الطرفين.

$$2x-8-y=-4$$

إضافة 8 لكلا الجانبين.

$$2x-y=-4+8$$

اجمع -4 مع 8 لتحصل على 4.

$$2x-y=4$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x-y=4,8x-2y=18$$

لجعل 2x و8x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 8 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$8\times 2x+8\left(-1\right)y=8\times 4,2\times 8x+2\left(-2\right)y=2\times 18$$

تبسيط.

$$16x-8y=32,16x-4y=36$$

اطرح 16x-4y=36 من 16x-8y=32 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$16x-16x-8y+4y=32-36$$

اجمع 16x مع -16x. حذف الحدين 16x و-16x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-8y+4y=32-36$$

اجمع -8y مع 4y.

$$-4y=32-36$$

اجمع 32 مع -36.

$$-4y=-4$$

قسمة طرفي المعادلة على -4.

$$y=1$$

عوّض عن y بالقيمة 1 في 8x-2y=18. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$8x-2=18$$

أضف 2 إلى طرفي المعادلة.

$$8x=20$$

قسمة طرفي المعادلة على 8.

$$x=\frac{5}{2}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{5}{2},y=1$$