حل {l}{2x-5y=4}{3x+2y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 5 y = 4 } \\ { 3 x + 2 y = 5 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{33}{19} = 1\frac{14}{19} \approx 1.736842105$$

$$y=-\frac{2}{19}\approx -0.105263158$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x-5y=4,3x+2y=5$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x-5y=4$$

أضف 5y إلى طرفي المعادلة.

$$2x=5y+4$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(5y+4\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في 5y+4.

$$x=\frac{5}{2}y+2$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{5y}{2}+2 في المعادلة الأخرى، 3x+2y=5.

$$3\left(\frac{5}{2}y+2\right)+2y=5$$

اضرب 3 في \frac{5y}{2}+2.

$$\frac{15}{2}y+6+2y=5$$

اجمع \frac{15y}{2} مع 2y.

$$\frac{19}{2}y+6=5$$

اطرح 6 من طرفي المعادلة.

$$\frac{19}{2}y=-1$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{19}{2}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-\frac{2}{19}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{2}{19} في x=\frac{5}{2}y+2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{5}{2}\left(-\frac{2}{19}\right)+2$$

اضرب \frac{5}{2} في -\frac{2}{19} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{5}{19}+2$$

اجمع 2 مع -\frac{5}{19}.

$$x=\frac{33}{19}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{33}{19},y=-\frac{2}{19}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x-5y=4,3x+2y=5$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-5\times 3\right)}&-\frac{-5}{2\times 2-\left(-5\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 2-\left(-5\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-5\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}&\frac{5}{19}\\-\frac{3}{19}&\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}\times 4+\frac{5}{19}\times 5\\-\frac{3}{19}\times 4+\frac{2}{19}\times 5\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{33}{19}\\-\frac{2}{19}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{33}{19},y=-\frac{2}{19}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x-5y=4,3x+2y=5$$

لجعل 2x و3x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 3 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$3\times 2x+3\left(-5\right)y=3\times 4,2\times 3x+2\times 2y=2\times 5$$

تبسيط.

$$6x-15y=12,6x+4y=10$$

اطرح 6x+4y=10 من 6x-15y=12 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$6x-6x-15y-4y=12-10$$

اجمع 6x مع -6x. حذف الحدين 6x و-6x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-15y-4y=12-10$$

اجمع -15y مع -4y.

$$-19y=12-10$$

اجمع 12 مع -10.

$$-19y=2$$

قسمة طرفي المعادلة على -19.

$$y=-\frac{2}{19}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{2}{19} في 3x+2y=5. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$3x+2\left(-\frac{2}{19}\right)=5$$

اضرب 2 في -\frac{2}{19}.

$$3x-\frac{4}{19}=5$$

أضف \frac{4}{19} إلى طرفي المعادلة.

$$3x=\frac{99}{19}$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{33}{19}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{33}{19},y=-\frac{2}{19}$$