حل {l}{2x-5y=100}{4x+y=120}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 5 y = 100 } \\ { 4 x + y = 120 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{350}{11} = 31\frac{9}{11} \approx 31.818181818$$

$$y = -\frac{80}{11} = -7\frac{3}{11} \approx -7.272727273$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x-5y=100,4x+y=120$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x-5y=100$$

أضف 5y إلى طرفي المعادلة.

$$2x=5y+100$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(5y+100\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في 100+5y.

$$x=\frac{5}{2}y+50$$

عوّض عن x بالقيمة 50+\frac{5y}{2} في المعادلة الأخرى، 4x+y=120.

$$4\left(\frac{5}{2}y+50\right)+y=120$$

اضرب 4 في 50+\frac{5y}{2}.

$$10y+200+y=120$$

اجمع 10y مع y.

$$11y+200=120$$

اطرح 200 من طرفي المعادلة.

$$11y=-80$$

قسمة طرفي المعادلة على 11.

$$y=-\frac{80}{11}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{80}{11} في x=\frac{5}{2}y+50. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{5}{2}\left(-\frac{80}{11}\right)+50$$

اضرب \frac{5}{2} في -\frac{80}{11} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{200}{11}+50$$

اجمع 50 مع -\frac{200}{11}.

$$x=\frac{350}{11}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{350}{11},y=-\frac{80}{11}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x-5y=100,4x+y=120$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\120\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\120\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\120\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\120\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-5\times 4\right)}&-\frac{-5}{2-\left(-5\times 4\right)}\\-\frac{4}{2-\left(-5\times 4\right)}&\frac{2}{2-\left(-5\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\120\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{22}&\frac{5}{22}\\-\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\120\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{22}\times 100+\frac{5}{22}\times 120\\-\frac{2}{11}\times 100+\frac{1}{11}\times 120\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{350}{11}\\-\frac{80}{11}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{350}{11},y=-\frac{80}{11}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x-5y=100,4x+y=120$$

لجعل 2x و4x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 4 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$4\times 2x+4\left(-5\right)y=4\times 100,2\times 4x+2y=2\times 120$$

تبسيط.

$$8x-20y=400,8x+2y=240$$

اطرح 8x+2y=240 من 8x-20y=400 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$8x-8x-20y-2y=400-240$$

اجمع 8x مع -8x. حذف الحدين 8x و-8x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-20y-2y=400-240$$

اجمع -20y مع -2y.

$$-22y=400-240$$

اجمع 400 مع -240.

$$-22y=160$$

قسمة طرفي المعادلة على -22.

$$y=-\frac{80}{11}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{80}{11} في 4x+y=120. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$4x-\frac{80}{11}=120$$

أضف \frac{80}{11} إلى طرفي المعادلة.

$$4x=\frac{1400}{11}$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=\frac{350}{11}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{350}{11},y=-\frac{80}{11}$$