حل {l}{2x-5y=10}{4x+y=15}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 5 y = 10 } \\ { 4 x + y = 15 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{85}{22} = 3\frac{19}{22} \approx 3.863636364$$

$$y=-\frac{5}{11}\approx -0.454545455$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x-5y=10,4x+y=15$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x-5y=10$$

أضف 5y إلى طرفي المعادلة.

$$2x=5y+10$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(5y+10\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في 10+5y.

$$x=\frac{5}{2}y+5$$

عوّض عن x بالقيمة 5+\frac{5y}{2} في المعادلة الأخرى، 4x+y=15.

$$4\left(\frac{5}{2}y+5\right)+y=15$$

اضرب 4 في 5+\frac{5y}{2}.

$$10y+20+y=15$$

اجمع 10y مع y.

$$11y+20=15$$

اطرح 20 من طرفي المعادلة.

$$11y=-5$$

قسمة طرفي المعادلة على 11.

$$y=-\frac{5}{11}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{5}{11} في x=\frac{5}{2}y+5. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{5}{2}\left(-\frac{5}{11}\right)+5$$

اضرب \frac{5}{2} في -\frac{5}{11} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{25}{22}+5$$

اجمع 5 مع -\frac{25}{22}.

$$x=\frac{85}{22}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{85}{22},y=-\frac{5}{11}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x-5y=10,4x+y=15$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\15\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\15\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\15\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\15\end{matrix}\right)$$

في المصفوفة 2\times 2 في هذا المثال \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة هي \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمسألة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-5\times 4\right)}&-\frac{-5}{2-\left(-5\times 4\right)}\\-\frac{4}{2-\left(-5\times 4\right)}&\frac{2}{2-\left(-5\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\15\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{22}&\frac{5}{22}\\-\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\15\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{22}\times 10+\frac{5}{22}\times 15\\-\frac{2}{11}\times 10+\frac{1}{11}\times 15\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{85}{22}\\-\frac{5}{11}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{85}{22},y=-\frac{5}{11}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x-5y=10,4x+y=15$$

لجعل 2x و4x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 4 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$4\times 2x+4\left(-5\right)y=4\times 10,2\times 4x+2y=2\times 15$$

تبسيط.

$$8x-20y=40,8x+2y=30$$

اطرح 8x+2y=30 من 8x-20y=40 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$8x-8x-20y-2y=40-30$$

اجمع 8x مع -8x. حذف الحدين 8x و-8x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-20y-2y=40-30$$

اجمع -20y مع -2y.

$$-22y=40-30$$

اجمع 40 مع -30.

$$-22y=10$$

قسمة طرفي المعادلة على -22.

$$y=-\frac{5}{11}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{5}{11} في 4x+y=15. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$4x-\frac{5}{11}=15$$

أضف \frac{5}{11} إلى طرفي المعادلة.

$$4x=\frac{170}{11}$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=\frac{85}{22}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{85}{22},y=-\frac{5}{11}$$