حل {l}{2x-4y=10}{6x-4y=11}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 4 y = 10 } \\ { 6 x - 4 y = 11 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=\frac{1}{4}=0.25$$

$$y = -\frac{19}{8} = -2\frac{3}{8} = -2.375$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x-4y=10,6x-4y=11$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x-4y=10$$

أضف 4y إلى طرفي المعادلة.

$$2x=4y+10$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(4y+10\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في 4y+10.

$$x=2y+5$$

عوّض عن x بالقيمة 2y+5 في المعادلة الأخرى، 6x-4y=11.

$$6\left(2y+5\right)-4y=11$$

اضرب 6 في 2y+5.

$$12y+30-4y=11$$

اجمع 12y مع -4y.

$$8y+30=11$$

اطرح 30 من طرفي المعادلة.

$$8y=-19$$

قسمة طرفي المعادلة على 8.

$$y=-\frac{19}{8}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{19}{8} في x=2y+5. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=2\left(-\frac{19}{8}\right)+5$$

اضرب 2 في -\frac{19}{8}.

$$x=-\frac{19}{4}+5$$

اجمع 5 مع -\frac{19}{4}.

$$x=\frac{1}{4}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{1}{4},y=-\frac{19}{8}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x-4y=10,6x-4y=11$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&-4\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&-4\\6&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-4\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-4\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-4\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-4\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-4\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{2\left(-4\right)-\left(-4\times 6\right)}&-\frac{-4}{2\left(-4\right)-\left(-4\times 6\right)}\\-\frac{6}{2\left(-4\right)-\left(-4\times 6\right)}&\frac{2}{2\left(-4\right)-\left(-4\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{3}{8}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 10+\frac{1}{4}\times 11\\-\frac{3}{8}\times 10+\frac{1}{8}\times 11\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\-\frac{19}{8}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{1}{4},y=-\frac{19}{8}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x-4y=10,6x-4y=11$$

اطرح 6x-4y=11 من 2x-4y=10 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$2x-6x-4y+4y=10-11$$

اجمع -4y مع 4y. حذف الحدين -4y و4y، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$2x-6x=10-11$$

اجمع 2x مع -6x.

$$-4x=10-11$$

اجمع 10 مع -11.

$$-4x=-1$$

قسمة طرفي المعادلة على -4.

$$x=\frac{1}{4}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{1}{4} في 6x-4y=11. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$6\times \frac{1}{4}-4y=11$$

اضرب 6 في \frac{1}{4}.

$$\frac{3}{2}-4y=11$$

اطرح \frac{3}{2} من طرفي المعادلة.

$$-4y=\frac{19}{2}$$

قسمة طرفي المعادلة على -4.

$$y=-\frac{19}{8}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{1}{4},y=-\frac{19}{8}$$