حل {l}{2x-4y=-2}{3x+2y=3}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 4 y = - 2 } \\ { 3 x + 2 y = 3 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

$$y=\frac{3}{4}=0.75$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x-4y=-2,3x+2y=3$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x-4y=-2$$

أضف 4y إلى طرفي المعادلة.

$$2x=4y-2$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(4y-2\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في 4y-2.

$$x=2y-1$$

عوّض عن x بالقيمة 2y-1 في المعادلة الأخرى، 3x+2y=3.

$$3\left(2y-1\right)+2y=3$$

اضرب 3 في 2y-1.

$$6y-3+2y=3$$

اجمع 6y مع 2y.

$$8y-3=3$$

أضف 3 إلى طرفي المعادلة.

$$8y=6$$

قسمة طرفي المعادلة على 8.

$$y=\frac{3}{4}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{3}{4} في x=2y-1. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=2\times \frac{3}{4}-1$$

اضرب 2 في \frac{3}{4}.

$$x=\frac{3}{2}-1$$

اجمع -1 مع \frac{3}{2}.

$$x=\frac{1}{2}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{1}{2},y=\frac{3}{4}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x-4y=-2,3x+2y=3$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&-4\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&-4\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-4\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-4\times 3\right)}&-\frac{-4}{2\times 2-\left(-4\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 2-\left(-4\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-4\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{1}{4}\\-\frac{3}{16}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\left(-2\right)+\frac{1}{4}\times 3\\-\frac{3}{16}\left(-2\right)+\frac{1}{8}\times 3\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\\frac{3}{4}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{1}{2},y=\frac{3}{4}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x-4y=-2,3x+2y=3$$

لجعل 2x و3x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 3 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$3\times 2x+3\left(-4\right)y=3\left(-2\right),2\times 3x+2\times 2y=2\times 3$$

تبسيط.

$$6x-12y=-6,6x+4y=6$$

اطرح 6x+4y=6 من 6x-12y=-6 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$6x-6x-12y-4y=-6-6$$

اجمع 6x مع -6x. حذف الحدين 6x و-6x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-12y-4y=-6-6$$

اجمع -12y مع -4y.

$$-16y=-6-6$$

اجمع -6 مع -6.

$$-16y=-12$$

قسمة طرفي المعادلة على -16.

$$y=\frac{3}{4}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{3}{4} في 3x+2y=3. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$3x+2\times \frac{3}{4}=3$$

اضرب 2 في \frac{3}{4}.

$$3x+\frac{3}{2}=3$$

اطرح \frac{3}{2} من طرفي المعادلة.

$$3x=\frac{3}{2}$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{1}{2}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{1}{2},y=\frac{3}{4}$$