حل {l}{2x-3y-10=0}{2y=-17-3x}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 3 y - 10 = 0 } \\ { 2 y = - 17 - 3 x } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = -\frac{31}{13} = -2\frac{5}{13} \approx -2.384615385$$

$$y = -\frac{64}{13} = -4\frac{12}{13} \approx -4.923076923$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. إضافة 10 لكلا الجانبين. حاصل جمع أي عدد مع صفر يكون العدد نفسه.

$$2x-3y=10$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. إضافة 3x لكلا الجانبين.

$$2y+3x=-17$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x-3y=10,3x+2y=-17$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x-3y=10$$

أضف 3y إلى طرفي المعادلة.

$$2x=3y+10$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+10\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في 3y+10.

$$x=\frac{3}{2}y+5$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{3y}{2}+5 في المعادلة الأخرى، 3x+2y=-17.

$$3\left(\frac{3}{2}y+5\right)+2y=-17$$

اضرب 3 في \frac{3y}{2}+5.

$$\frac{9}{2}y+15+2y=-17$$

اجمع \frac{9y}{2} مع 2y.

$$\frac{13}{2}y+15=-17$$

اطرح 15 من طرفي المعادلة.

$$\frac{13}{2}y=-32$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{13}{2}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-\frac{64}{13}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{64}{13} في x=\frac{3}{2}y+5. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{3}{2}\left(-\frac{64}{13}\right)+5$$

اضرب \frac{3}{2} في -\frac{64}{13} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{96}{13}+5$$

اجمع 5 مع -\frac{96}{13}.

$$x=-\frac{31}{13}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{31}{13},y=-\frac{64}{13}$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. إضافة 10 لكلا الجانبين. حاصل جمع أي عدد مع صفر يكون العدد نفسه.

$$2x-3y=10$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. إضافة 3x لكلا الجانبين.

$$2y+3x=-17$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x-3y=10,3x+2y=-17$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

في المصفوفة 2\times 2 في هذا المثال \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة هي \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمسألة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&\frac{3}{13}\\-\frac{3}{13}&\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\times 10+\frac{3}{13}\left(-17\right)\\-\frac{3}{13}\times 10+\frac{2}{13}\left(-17\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{31}{13}\\-\frac{64}{13}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-\frac{31}{13},y=-\frac{64}{13}$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. إضافة 10 لكلا الجانبين. حاصل جمع أي عدد مع صفر يكون العدد نفسه.

$$2x-3y=10$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. إضافة 3x لكلا الجانبين.

$$2y+3x=-17$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x-3y=10,3x+2y=-17$$

لجعل 2x و3x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 3 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$3\times 2x+3\left(-3\right)y=3\times 10,2\times 3x+2\times 2y=2\left(-17\right)$$

تبسيط.

$$6x-9y=30,6x+4y=-34$$

اطرح 6x+4y=-34 من 6x-9y=30 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$6x-6x-9y-4y=30+34$$

اجمع 6x مع -6x. حذف الحدين 6x و-6x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-9y-4y=30+34$$

اجمع -9y مع -4y.

$$-13y=30+34$$

اجمع 30 مع 34.

$$-13y=64$$

قسمة طرفي المعادلة على -13.

$$y=-\frac{64}{13}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{64}{13} في 3x+2y=-17. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$3x+2\left(-\frac{64}{13}\right)=-17$$

اضرب 2 في -\frac{64}{13}.

$$3x-\frac{128}{13}=-17$$

أضف \frac{128}{13} إلى طرفي المعادلة.

$$3x=-\frac{93}{13}$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=-\frac{31}{13}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{31}{13},y=-\frac{64}{13}$$