حل {l}{2x-3y-10=0}{17y=-11-3x}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 3 y - 10 = 0 } \\ { 17 y = - 11 - 3 x } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{137}{43} = 3\frac{8}{43} \approx 3.186046512$$

$$y = -\frac{52}{43} = -1\frac{9}{43} \approx -1.209302326$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. إضافة 10 لكلا الجانبين. حاصل جمع أي عدد مع صفر يكون العدد نفسه.

$$2x-3y=10$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. إضافة 3x لكلا الجانبين.

$$17y+3x=-11$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x-3y=10,3x+17y=-11$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x-3y=10$$

أضف 3y إلى طرفي المعادلة.

$$2x=3y+10$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+10\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في 3y+10.

$$x=\frac{3}{2}y+5$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{3y}{2}+5 في المعادلة الأخرى، 3x+17y=-11.

$$3\left(\frac{3}{2}y+5\right)+17y=-11$$

اضرب 3 في \frac{3y}{2}+5.

$$\frac{9}{2}y+15+17y=-11$$

اجمع \frac{9y}{2} مع 17y.

$$\frac{43}{2}y+15=-11$$

اطرح 15 من طرفي المعادلة.

$$\frac{43}{2}y=-26$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{43}{2}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-\frac{52}{43}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{52}{43} في x=\frac{3}{2}y+5. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{3}{2}\left(-\frac{52}{43}\right)+5$$

اضرب \frac{3}{2} في -\frac{52}{43} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{78}{43}+5$$

اجمع 5 مع -\frac{78}{43}.

$$x=\frac{137}{43}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{137}{43},y=-\frac{52}{43}$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. إضافة 10 لكلا الجانبين. حاصل جمع أي عدد مع صفر يكون العدد نفسه.

$$2x-3y=10$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. إضافة 3x لكلا الجانبين.

$$17y+3x=-11$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x-3y=10,3x+17y=-11$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\3&17\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-11\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&-3\\3&17\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&17\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&17\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&17\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-11\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&17\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-11\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&17\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-11\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{17}{2\times 17-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\times 17-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 17-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 17-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-11\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{17}{43}&\frac{3}{43}\\-\frac{3}{43}&\frac{2}{43}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-11\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{17}{43}\times 10+\frac{3}{43}\left(-11\right)\\-\frac{3}{43}\times 10+\frac{2}{43}\left(-11\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{137}{43}\\-\frac{52}{43}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{137}{43},y=-\frac{52}{43}$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. إضافة 10 لكلا الجانبين. حاصل جمع أي عدد مع صفر يكون العدد نفسه.

$$2x-3y=10$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. إضافة 3x لكلا الجانبين.

$$17y+3x=-11$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x-3y=10,3x+17y=-11$$

لجعل 2x و3x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 3 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$3\times 2x+3\left(-3\right)y=3\times 10,2\times 3x+2\times 17y=2\left(-11\right)$$

تبسيط.

$$6x-9y=30,6x+34y=-22$$

اطرح 6x+34y=-22 من 6x-9y=30 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$6x-6x-9y-34y=30+22$$

اجمع 6x مع -6x. حذف الحدين 6x و-6x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-9y-34y=30+22$$

اجمع -9y مع -34y.

$$-43y=30+22$$

اجمع 30 مع 22.

$$-43y=52$$

قسمة طرفي المعادلة على -43.

$$y=-\frac{52}{43}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{52}{43} في 3x+17y=-11. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$3x+17\left(-\frac{52}{43}\right)=-11$$

اضرب 17 في -\frac{52}{43}.

$$3x-\frac{884}{43}=-11$$

أضف \frac{884}{43} إلى طرفي المعادلة.

$$3x=\frac{411}{43}$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{137}{43}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{137}{43},y=-\frac{52}{43}$$