حل {l}{2x-3y=15}{3x-2y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = 15 } \\ { 3 x - 2 y = 10 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=0$$

$$y=-5$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x-3y=15,3x-2y=10$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x-3y=15$$

أضف 3y إلى طرفي المعادلة.

$$2x=3y+15$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+15\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في 15+3y.

$$x=\frac{3}{2}y+\frac{15}{2}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{15+3y}{2} في المعادلة الأخرى، 3x-2y=10.

$$3\left(\frac{3}{2}y+\frac{15}{2}\right)-2y=10$$

اضرب 3 في \frac{15+3y}{2}.

$$\frac{9}{2}y+\frac{45}{2}-2y=10$$

اجمع \frac{9y}{2} مع -2y.

$$\frac{5}{2}y+\frac{45}{2}=10$$

اطرح \frac{45}{2} من طرفي المعادلة.

$$\frac{5}{2}y=-\frac{25}{2}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{5}{2}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-5$$

عوّض عن y بالقيمة -5 في x=\frac{3}{2}y+\frac{15}{2}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{3}{2}\left(-5\right)+\frac{15}{2}$$

اضرب \frac{3}{2} في -5.

$$x=\frac{-15+15}{2}$$

اجمع \frac{15}{2} مع -\frac{15}{2} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=0$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=0,y=-5$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x-3y=15,3x-2y=10$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}&\frac{3}{5}\\-\frac{3}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\times 15+\frac{3}{5}\times 10\\-\frac{3}{5}\times 15+\frac{2}{5}\times 10\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=0,y=-5$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x-3y=15,3x-2y=10$$

لجعل 2x و3x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 3 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$3\times 2x+3\left(-3\right)y=3\times 15,2\times 3x+2\left(-2\right)y=2\times 10$$

تبسيط.

$$6x-9y=45,6x-4y=20$$

اطرح 6x-4y=20 من 6x-9y=45 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$6x-6x-9y+4y=45-20$$

اجمع 6x مع -6x. حذف الحدين 6x و-6x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-9y+4y=45-20$$

اجمع -9y مع 4y.

$$-5y=45-20$$

اجمع 45 مع -20.

$$-5y=25$$

قسمة طرفي المعادلة على -5.

$$y=-5$$

عوّض عن y بالقيمة -5 في 3x-2y=10. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$3x-2\left(-5\right)=10$$

اضرب -2 في -5.

$$3x+10=10$$

اطرح 10 من طرفي المعادلة.

$$3x=0$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=0$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=0,y=-5$$