حل {l}{2x-3y=13}{5x-y=13}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = 13 } \\ { 5 x - y = 13 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=2$$

$$y=-3$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x-3y=13,5x-y=13$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x-3y=13$$

أضف 3y إلى طرفي المعادلة.

$$2x=3y+13$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+13\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في 3y+13.

$$x=\frac{3}{2}y+\frac{13}{2}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{3y+13}{2} في المعادلة الأخرى، 5x-y=13.

$$5\left(\frac{3}{2}y+\frac{13}{2}\right)-y=13$$

اضرب 5 في \frac{3y+13}{2}.

$$\frac{15}{2}y+\frac{65}{2}-y=13$$

اجمع \frac{15y}{2} مع -y.

$$\frac{13}{2}y+\frac{65}{2}=13$$

اطرح \frac{65}{2} من طرفي المعادلة.

$$\frac{13}{2}y=-\frac{39}{2}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{13}{2}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-3$$

عوّض عن y بالقيمة -3 في x=\frac{3}{2}y+\frac{13}{2}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{3}{2}\left(-3\right)+\frac{13}{2}$$

اضرب \frac{3}{2} في -3.

$$x=\frac{-9+13}{2}$$

اجمع \frac{13}{2} مع -\frac{9}{2} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=2,y=-3$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x-3y=13,5x-y=13$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\13\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\13\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\13\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\13\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}&-\frac{-3}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}\\-\frac{5}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}&\frac{2}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\13\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}&\frac{3}{13}\\-\frac{5}{13}&\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\13\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}\times 13+\frac{3}{13}\times 13\\-\frac{5}{13}\times 13+\frac{2}{13}\times 13\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=2,y=-3$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x-3y=13,5x-y=13$$

لجعل 2x و5x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 5 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$5\times 2x+5\left(-3\right)y=5\times 13,2\times 5x+2\left(-1\right)y=2\times 13$$

تبسيط.

$$10x-15y=65,10x-2y=26$$

اطرح 10x-2y=26 من 10x-15y=65 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$10x-10x-15y+2y=65-26$$

اجمع 10x مع -10x. حذف الحدين 10x و-10x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-15y+2y=65-26$$

اجمع -15y مع 2y.

$$-13y=65-26$$

اجمع 65 مع -26.

$$-13y=39$$

قسمة طرفي المعادلة على -13.

$$y=-3$$

عوّض عن y بالقيمة -3 في 5x-y=13. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$5x-\left(-3\right)=13$$

اطرح 3 من طرفي المعادلة.

$$5x=10$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$x=2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=2,y=-3$$