حل {l}{2x-2y=12}{5x-2y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 2 y = 12 } \\ { 5 x - 2 y = 9 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-1$$

$$y=-7$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x-2y=12,5x-2y=9$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x-2y=12$$

أضف 2y إلى طرفي المعادلة.

$$2x=2y+12$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(2y+12\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في 12+2y.

$$x=y+6$$

عوّض عن x بالقيمة y+6 في المعادلة الأخرى، 5x-2y=9.

$$5\left(y+6\right)-2y=9$$

اضرب 5 في y+6.

$$5y+30-2y=9$$

اجمع 5y مع -2y.

$$3y+30=9$$

اطرح 30 من طرفي المعادلة.

$$3y=-21$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$y=-7$$

عوّض عن y بالقيمة -7 في x=y+6. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-7+6$$

اجمع 6 مع -7.

$$x=-1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-1,y=-7$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x-2y=12,5x-2y=9$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&-2\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\9\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&-2\\5&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-2\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\9\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\9\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\9\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-2\times 5\right)}&-\frac{-2}{2\left(-2\right)-\left(-2\times 5\right)}\\-\frac{5}{2\left(-2\right)-\left(-2\times 5\right)}&\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-2\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\9\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\-\frac{5}{6}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\9\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 12+\frac{1}{3}\times 9\\-\frac{5}{6}\times 12+\frac{1}{3}\times 9\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-7\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-1,y=-7$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x-2y=12,5x-2y=9$$

اطرح 5x-2y=9 من 2x-2y=12 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$2x-5x-2y+2y=12-9$$

اجمع -2y مع 2y. حذف الحدين -2y و2y، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$2x-5x=12-9$$

اجمع 2x مع -5x.

$$-3x=12-9$$

اجمع 12 مع -9.

$$-3x=3$$

قسمة طرفي المعادلة على -3.

$$x=-1$$

عوّض عن x بالقيمة -1 في 5x-2y=9. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$5\left(-1\right)-2y=9$$

اضرب 5 في -1.

$$-5-2y=9$$

أضف 5 إلى طرفي المعادلة.

$$-2y=14$$

قسمة طرفي المعادلة على -2.

$$y=-7$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-1,y=-7$$