حل {l}{2x-19y=-10}{19x-18y=13}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 19 y = - 10 } \\ { 19 x - 18 y = 13 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{427}{325} = 1\frac{102}{325} \approx 1.313846154$$

$$y=\frac{216}{325}\approx 0.664615385$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x-19y=-10,19x-18y=13$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x-19y=-10$$

أضف 19y إلى طرفي المعادلة.

$$2x=19y-10$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(19y-10\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في 19y-10.

$$x=\frac{19}{2}y-5$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{19y}{2}-5 في المعادلة الأخرى، 19x-18y=13.

$$19\left(\frac{19}{2}y-5\right)-18y=13$$

اضرب 19 في \frac{19y}{2}-5.

$$\frac{361}{2}y-95-18y=13$$

اجمع \frac{361y}{2} مع -18y.

$$\frac{325}{2}y-95=13$$

أضف 95 إلى طرفي المعادلة.

$$\frac{325}{2}y=108$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{325}{2}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=\frac{216}{325}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{216}{325} في x=\frac{19}{2}y-5. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{19}{2}\times \frac{216}{325}-5$$

اضرب \frac{19}{2} في \frac{216}{325} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{2052}{325}-5$$

اجمع -5 مع \frac{2052}{325}.

$$x=\frac{427}{325}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{427}{325},y=\frac{216}{325}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x-19y=-10,19x-18y=13$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&-19\\19&-18\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\13\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&-19\\19&-18\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-19\\19&-18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-19\\19&-18\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-19\\19&-18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\13\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-19\\19&-18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\13\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-19\\19&-18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\13\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{18}{2\left(-18\right)-\left(-19\times 19\right)}&-\frac{-19}{2\left(-18\right)-\left(-19\times 19\right)}\\-\frac{19}{2\left(-18\right)-\left(-19\times 19\right)}&\frac{2}{2\left(-18\right)-\left(-19\times 19\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\13\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{18}{325}&\frac{19}{325}\\-\frac{19}{325}&\frac{2}{325}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\13\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{18}{325}\left(-10\right)+\frac{19}{325}\times 13\\-\frac{19}{325}\left(-10\right)+\frac{2}{325}\times 13\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{427}{325}\\\frac{216}{325}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{427}{325},y=\frac{216}{325}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x-19y=-10,19x-18y=13$$

لجعل 2x و19x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 19 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$19\times 2x+19\left(-19\right)y=19\left(-10\right),2\times 19x+2\left(-18\right)y=2\times 13$$

تبسيط.

$$38x-361y=-190,38x-36y=26$$

اطرح 38x-36y=26 من 38x-361y=-190 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$38x-38x-361y+36y=-190-26$$

اجمع 38x مع -38x. حذف الحدين 38x و-38x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-361y+36y=-190-26$$

اجمع -361y مع 36y.

$$-325y=-190-26$$

اجمع -190 مع -26.

$$-325y=-216$$

قسمة طرفي المعادلة على -325.

$$y=\frac{216}{325}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{216}{325} في 19x-18y=13. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$19x-18\times \frac{216}{325}=13$$

اضرب -18 في \frac{216}{325}.

$$19x-\frac{3888}{325}=13$$

أضف \frac{3888}{325} إلى طرفي المعادلة.

$$19x=\frac{8113}{325}$$

قسمة طرفي المعادلة على 19.

$$x=\frac{427}{325}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{427}{325},y=\frac{216}{325}$$