حل {l}{2x+y=9}{2x+3y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 9 } \\ { 2 x + 3 y = 2 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{25}{4} = 6\frac{1}{4} = 6.25$$

$$y = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3.5$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x+y=9,2x+3y=2$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x+y=9$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$2x=-y+9$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+9\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في -y+9.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{9}{2}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-y+9}{2} في المعادلة الأخرى، 2x+3y=2.

$$2\left(-\frac{1}{2}y+\frac{9}{2}\right)+3y=2$$

اضرب 2 في \frac{-y+9}{2}.

$$-y+9+3y=2$$

اجمع -y مع 3y.

$$2y+9=2$$

اطرح 9 من طرفي المعادلة.

$$2y=-7$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$y=-\frac{7}{2}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{7}{2} في x=-\frac{1}{2}y+\frac{9}{2}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-\frac{7}{2}\right)+\frac{9}{2}$$

اضرب -\frac{1}{2} في -\frac{7}{2} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{7}{4}+\frac{9}{2}$$

اجمع \frac{9}{2} مع \frac{7}{4} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{25}{4}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{25}{4},y=-\frac{7}{2}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x+y=9,2x+3y=2$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\2\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&1\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\2\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\2\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-2}&-\frac{1}{2\times 3-2}\\-\frac{2}{2\times 3-2}&\frac{2}{2\times 3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\2\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&-\frac{1}{4}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\times 9-\frac{1}{4}\times 2\\-\frac{1}{2}\times 9+\frac{1}{2}\times 2\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{4}\\-\frac{7}{2}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{25}{4},y=-\frac{7}{2}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x+y=9,2x+3y=2$$

اطرح 2x+3y=2 من 2x+y=9 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$2x-2x+y-3y=9-2$$

اجمع 2x مع -2x. حذف الحدين 2x و-2x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$y-3y=9-2$$

اجمع y مع -3y.

$$-2y=9-2$$

اجمع 9 مع -2.

$$-2y=7$$

قسمة طرفي المعادلة على -2.

$$y=-\frac{7}{2}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{7}{2} في 2x+3y=2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$2x+3\left(-\frac{7}{2}\right)=2$$

اضرب 3 في -\frac{7}{2}.

$$2x-\frac{21}{2}=2$$

أضف \frac{21}{2} إلى طرفي المعادلة.

$$2x=\frac{25}{2}$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{25}{4}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{25}{4},y=-\frac{7}{2}$$