حل {l}{2x+y=7}{x+2y=11}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 7 } \\ { x + 2 y = 11 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=1$$

$$y=5$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x+y=7,x+2y=11$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x+y=7$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$2x=-y+7$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+7\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في -y+7.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{7}{2}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-y+7}{2} في المعادلة الأخرى، x+2y=11.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{7}{2}+2y=11$$

اجمع -\frac{y}{2} مع 2y.

$$\frac{3}{2}y+\frac{7}{2}=11$$

اطرح \frac{7}{2} من طرفي المعادلة.

$$\frac{3}{2}y=\frac{15}{2}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{3}{2}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=5$$

عوّض عن y بالقيمة 5 في x=-\frac{1}{2}y+\frac{7}{2}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{1}{2}\times 5+\frac{7}{2}$$

اضرب -\frac{1}{2} في 5.

$$x=\frac{-5+7}{2}$$

اجمع \frac{7}{2} مع -\frac{5}{2} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=1,y=5$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x+y=7,x+2y=11$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\11\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\11\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\11\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\11\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-1}&-\frac{1}{2\times 2-1}\\-\frac{1}{2\times 2-1}&\frac{2}{2\times 2-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\11\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\11\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\times 7-\frac{1}{3}\times 11\\-\frac{1}{3}\times 7+\frac{2}{3}\times 11\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=1,y=5$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x+y=7,x+2y=11$$

لجعل 2x وx متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$2x+y=7,2x+2\times 2y=2\times 11$$

تبسيط.

$$2x+y=7,2x+4y=22$$

اطرح 2x+4y=22 من 2x+y=7 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$2x-2x+y-4y=7-22$$

اجمع 2x مع -2x. حذف الحدين 2x و-2x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$y-4y=7-22$$

اجمع y مع -4y.

$$-3y=7-22$$

اجمع 7 مع -22.

$$-3y=-15$$

قسمة طرفي المعادلة على -3.

$$y=5$$

عوّض عن y بالقيمة 5 في x+2y=11. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x+2\times 5=11$$

اضرب 2 في 5.

$$x+10=11$$

اطرح 10 من طرفي المعادلة.

$$x=1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=1,y=5$$