حل {l}{2x+y=6}{6x-y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 6 } \\ { 6 x - y = 2 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=1$$

$$y=4$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x+y=6,6x-y=2$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x+y=6$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$2x=-y+6$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+6\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في -y+6.

$$x=-\frac{1}{2}y+3$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{y}{2}+3 في المعادلة الأخرى، 6x-y=2.

$$6\left(-\frac{1}{2}y+3\right)-y=2$$

اضرب 6 في -\frac{y}{2}+3.

$$-3y+18-y=2$$

اجمع -3y مع -y.

$$-4y+18=2$$

اطرح 18 من طرفي المعادلة.

$$-4y=-16$$

قسمة طرفي المعادلة على -4.

$$y=4$$

عوّض عن y بالقيمة 4 في x=-\frac{1}{2}y+3. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{1}{2}\times 4+3$$

اضرب -\frac{1}{2} في 4.

$$x=-2+3$$

اجمع 3 مع -2.

$$x=1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=1,y=4$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x+y=6,6x-y=2$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\6&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&1\\6&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\6&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\6&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\6&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\6&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\6&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-6}&-\frac{1}{2\left(-1\right)-6}\\-\frac{6}{2\left(-1\right)-6}&\frac{2}{2\left(-1\right)-6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{1}{8}\\\frac{3}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 6+\frac{1}{8}\times 2\\\frac{3}{4}\times 6-\frac{1}{4}\times 2\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=1,y=4$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x+y=6,6x-y=2$$

لجعل 2x و6x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 6 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$6\times 2x+6y=6\times 6,2\times 6x+2\left(-1\right)y=2\times 2$$

تبسيط.

$$12x+6y=36,12x-2y=4$$

اطرح 12x-2y=4 من 12x+6y=36 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$12x-12x+6y+2y=36-4$$

اجمع 12x مع -12x. حذف الحدين 12x و-12x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$6y+2y=36-4$$

اجمع 6y مع 2y.

$$8y=36-4$$

اجمع 36 مع -4.

$$8y=32$$

قسمة طرفي المعادلة على 8.

$$y=4$$

عوّض عن y بالقيمة 4 في 6x-y=2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$6x-4=2$$

أضف 4 إلى طرفي المعادلة.

$$6x=6$$

قسمة طرفي المعادلة على 6.

$$x=1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=1,y=4$$