حل {l}{2x+y=6}{2x-y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 6 } \\ { 2 x - y = 2 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=2$$

$$y=2$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x+y=6,2x-y=2$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x+y=6$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$2x=-y+6$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+6\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في -y+6.

$$x=-\frac{1}{2}y+3$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{y}{2}+3 في المعادلة الأخرى، 2x-y=2.

$$2\left(-\frac{1}{2}y+3\right)-y=2$$

اضرب 2 في -\frac{y}{2}+3.

$$-y+6-y=2$$

اجمع -y مع -y.

$$-2y+6=2$$

اطرح 6 من طرفي المعادلة.

$$-2y=-4$$

قسمة طرفي المعادلة على -2.

$$y=2$$

عوّض عن y بالقيمة 2 في x=-\frac{1}{2}y+3. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{1}{2}\times 2+3$$

اضرب -\frac{1}{2} في 2.

$$x=-1+3$$

اجمع 3 مع -1.

$$x=2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=2,y=2$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x+y=6,2x-y=2$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&1\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-2}&-\frac{1}{2\left(-1\right)-2}\\-\frac{2}{2\left(-1\right)-2}&\frac{2}{2\left(-1\right)-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 6+\frac{1}{4}\times 2\\\frac{1}{2}\times 6-\frac{1}{2}\times 2\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=2,y=2$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x+y=6,2x-y=2$$

اطرح 2x-y=2 من 2x+y=6 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$2x-2x+y+y=6-2$$

اجمع 2x مع -2x. حذف الحدين 2x و-2x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$y+y=6-2$$

اجمع y مع y.

$$2y=6-2$$

اجمع 6 مع -2.

$$2y=4$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$y=2$$

عوّض عن y بالقيمة 2 في 2x-y=2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$2x-2=2$$

أضف 2 إلى طرفي المعادلة.

$$2x=4$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=2,y=2$$