حل {l}{2x+y=20}{5y+3x=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 20 } \\ { 5 y + 3 x = 10 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{90}{7} = 12\frac{6}{7} \approx 12.857142857$$

$$y = -\frac{40}{7} = -5\frac{5}{7} \approx -5.714285714$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x+y=20,3x+5y=10$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x+y=20$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$2x=-y+20$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+20\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في -y+20.

$$x=-\frac{1}{2}y+10$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{y}{2}+10 في المعادلة الأخرى، 3x+5y=10.

$$3\left(-\frac{1}{2}y+10\right)+5y=10$$

اضرب 3 في -\frac{y}{2}+10.

$$-\frac{3}{2}y+30+5y=10$$

اجمع -\frac{3y}{2} مع 5y.

$$\frac{7}{2}y+30=10$$

اطرح 30 من طرفي المعادلة.

$$\frac{7}{2}y=-20$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{7}{2}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-\frac{40}{7}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{40}{7} في x=-\frac{1}{2}y+10. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-\frac{40}{7}\right)+10$$

اضرب -\frac{1}{2} في -\frac{40}{7} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{20}{7}+10$$

اجمع 10 مع \frac{20}{7}.

$$x=\frac{90}{7}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{90}{7},y=-\frac{40}{7}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x+y=20,3x+5y=10$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\10\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&1\\3&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\10\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\10\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\10\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-3}&-\frac{1}{2\times 5-3}\\-\frac{3}{2\times 5-3}&\frac{2}{2\times 5-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\10\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{7}&-\frac{1}{7}\\-\frac{3}{7}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\10\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{7}\times 20-\frac{1}{7}\times 10\\-\frac{3}{7}\times 20+\frac{2}{7}\times 10\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{90}{7}\\-\frac{40}{7}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{90}{7},y=-\frac{40}{7}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x+y=20,3x+5y=10$$

لجعل 2x و3x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 3 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$3\times 2x+3y=3\times 20,2\times 3x+2\times 5y=2\times 10$$

تبسيط.

$$6x+3y=60,6x+10y=20$$

اطرح 6x+10y=20 من 6x+3y=60 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$6x-6x+3y-10y=60-20$$

اجمع 6x مع -6x. حذف الحدين 6x و-6x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$3y-10y=60-20$$

اجمع 3y مع -10y.

$$-7y=60-20$$

اجمع 60 مع -20.

$$-7y=40$$

قسمة طرفي المعادلة على -7.

$$y=-\frac{40}{7}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{40}{7} في 3x+5y=10. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$3x+5\left(-\frac{40}{7}\right)=10$$

اضرب 5 في -\frac{40}{7}.

$$3x-\frac{200}{7}=10$$

أضف \frac{200}{7} إلى طرفي المعادلة.

$$3x=\frac{270}{7}$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{90}{7}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{90}{7},y=-\frac{40}{7}$$