حل {l}{2x+y=18}{3x+2y=28}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 18 } \\ { 3 x + 2 y = 28 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=8$$

$$y=2$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x+y=18,3x+2y=28$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x+y=18$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$2x=-y+18$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+18\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في -y+18.

$$x=-\frac{1}{2}y+9$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{y}{2}+9 في المعادلة الأخرى، 3x+2y=28.

$$3\left(-\frac{1}{2}y+9\right)+2y=28$$

اضرب 3 في -\frac{y}{2}+9.

$$-\frac{3}{2}y+27+2y=28$$

اجمع -\frac{3y}{2} مع 2y.

$$\frac{1}{2}y+27=28$$

اطرح 27 من طرفي المعادلة.

$$\frac{1}{2}y=1$$

ضرب طرفي المعادلة في 2.

$$y=2$$

عوّض عن y بالقيمة 2 في x=-\frac{1}{2}y+9. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{1}{2}\times 2+9$$

اضرب -\frac{1}{2} في 2.

$$x=-1+9$$

اجمع 9 مع -1.

$$x=8$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=8,y=2$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x+y=18,3x+2y=28$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\28\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\28\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\28\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\28\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-3}&-\frac{1}{2\times 2-3}\\-\frac{3}{2\times 2-3}&\frac{2}{2\times 2-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\28\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-1\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\28\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 18-28\\-3\times 18+2\times 28\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=8,y=2$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x+y=18,3x+2y=28$$

لجعل 2x و3x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 3 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$3\times 2x+3y=3\times 18,2\times 3x+2\times 2y=2\times 28$$

تبسيط.

$$6x+3y=54,6x+4y=56$$

اطرح 6x+4y=56 من 6x+3y=54 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$6x-6x+3y-4y=54-56$$

اجمع 6x مع -6x. حذف الحدين 6x و-6x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$3y-4y=54-56$$

اجمع 3y مع -4y.

$$-y=54-56$$

اجمع 54 مع -56.

$$-y=-2$$

قسمة طرفي المعادلة على -1.

$$y=2$$

عوّض عن y بالقيمة 2 في 3x+2y=28. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$3x+2\times 2=28$$

اضرب 2 في 2.

$$3x+4=28$$

اطرح 4 من طرفي المعادلة.

$$3x=24$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=8$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=8,y=2$$