حل {l}{2x+y=12}{3x-2y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 12 } \\ { 3 x - 2 y = 8 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{32}{7} = 4\frac{4}{7} \approx 4.571428571$$

$$y = \frac{20}{7} = 2\frac{6}{7} \approx 2.857142857$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x+y=12,3x-2y=8$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x+y=12$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$2x=-y+12$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+12\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في -y+12.

$$x=-\frac{1}{2}y+6$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{y}{2}+6 في المعادلة الأخرى، 3x-2y=8.

$$3\left(-\frac{1}{2}y+6\right)-2y=8$$

اضرب 3 في -\frac{y}{2}+6.

$$-\frac{3}{2}y+18-2y=8$$

اجمع -\frac{3y}{2} مع -2y.

$$-\frac{7}{2}y+18=8$$

اطرح 18 من طرفي المعادلة.

$$-\frac{7}{2}y=-10$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{7}{2}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=\frac{20}{7}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{20}{7} في x=-\frac{1}{2}y+6. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{20}{7}+6$$

اضرب -\frac{1}{2} في \frac{20}{7} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{10}{7}+6$$

اجمع 6 مع -\frac{10}{7}.

$$x=\frac{32}{7}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{32}{7},y=\frac{20}{7}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x+y=12,3x-2y=8$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\8\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&1\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\8\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\8\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\8\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-3}&-\frac{1}{2\left(-2\right)-3}\\-\frac{3}{2\left(-2\right)-3}&\frac{2}{2\left(-2\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\8\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&\frac{1}{7}\\\frac{3}{7}&-\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\8\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 12+\frac{1}{7}\times 8\\\frac{3}{7}\times 12-\frac{2}{7}\times 8\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{32}{7}\\\frac{20}{7}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{32}{7},y=\frac{20}{7}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x+y=12,3x-2y=8$$

لجعل 2x و3x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 3 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$3\times 2x+3y=3\times 12,2\times 3x+2\left(-2\right)y=2\times 8$$

تبسيط.

$$6x+3y=36,6x-4y=16$$

اطرح 6x-4y=16 من 6x+3y=36 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$6x-6x+3y+4y=36-16$$

اجمع 6x مع -6x. حذف الحدين 6x و-6x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$3y+4y=36-16$$

اجمع 3y مع 4y.

$$7y=36-16$$

اجمع 36 مع -16.

$$7y=20$$

قسمة طرفي المعادلة على 7.

$$y=\frac{20}{7}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{20}{7} في 3x-2y=8. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$3x-2\times \frac{20}{7}=8$$

اضرب -2 في \frac{20}{7}.

$$3x-\frac{40}{7}=8$$

أضف \frac{40}{7} إلى طرفي المعادلة.

$$3x=\frac{96}{7}$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{32}{7}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{32}{7},y=\frac{20}{7}$$