حل {l}{2x+y=-19}{x+4y=11}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = - 19 } \\ { x + 4 y = 11 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = -\frac{87}{7} = -12\frac{3}{7} \approx -12.428571429$$

$$y = \frac{41}{7} = 5\frac{6}{7} \approx 5.857142857$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x+y=-19,x+4y=11$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x+y=-19$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$2x=-y-19$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y-19\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في -y-19.

$$x=-\frac{1}{2}y-\frac{19}{2}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-y-19}{2} في المعادلة الأخرى، x+4y=11.

$$-\frac{1}{2}y-\frac{19}{2}+4y=11$$

اجمع -\frac{y}{2} مع 4y.

$$\frac{7}{2}y-\frac{19}{2}=11$$

أضف \frac{19}{2} إلى طرفي المعادلة.

$$\frac{7}{2}y=\frac{41}{2}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{7}{2}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=\frac{41}{7}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{41}{7} في x=-\frac{1}{2}y-\frac{19}{2}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{41}{7}-\frac{19}{2}$$

اضرب -\frac{1}{2} في \frac{41}{7} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{41}{14}-\frac{19}{2}$$

اجمع -\frac{19}{2} مع -\frac{41}{14} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{87}{7}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{87}{7},y=\frac{41}{7}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x+y=-19,x+4y=11$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-19\\11\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&1\\1&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-19\\11\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-19\\11\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-19\\11\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{2\times 4-1}&-\frac{1}{2\times 4-1}\\-\frac{1}{2\times 4-1}&\frac{2}{2\times 4-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-19\\11\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{7}&-\frac{1}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-19\\11\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{7}\left(-19\right)-\frac{1}{7}\times 11\\-\frac{1}{7}\left(-19\right)+\frac{2}{7}\times 11\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{87}{7}\\\frac{41}{7}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-\frac{87}{7},y=\frac{41}{7}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x+y=-19,x+4y=11$$

لجعل 2x وx متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$2x+y=-19,2x+2\times 4y=2\times 11$$

تبسيط.

$$2x+y=-19,2x+8y=22$$

اطرح 2x+8y=22 من 2x+y=-19 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$2x-2x+y-8y=-19-22$$

اجمع 2x مع -2x. حذف الحدين 2x و-2x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$y-8y=-19-22$$

اجمع y مع -8y.

$$-7y=-19-22$$

اجمع -19 مع -22.

$$-7y=-41$$

قسمة طرفي المعادلة على -7.

$$y=\frac{41}{7}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{41}{7} في x+4y=11. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x+4\times \frac{41}{7}=11$$

اضرب 4 في \frac{41}{7}.

$$x+\frac{164}{7}=11$$

اطرح \frac{164}{7} من طرفي المعادلة.

$$x=-\frac{87}{7}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{87}{7},y=\frac{41}{7}$$