حل {l}{2x+y=-16}{-4x+10y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = - 16 } \\ { - 4 x + 10 y = 8 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-7$$

$$y=-2$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x+y=-16,-4x+10y=8$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x+y=-16$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$2x=-y-16$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y-16\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في -y-16.

$$x=-\frac{1}{2}y-8$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{y}{2}-8 في المعادلة الأخرى، -4x+10y=8.

$$-4\left(-\frac{1}{2}y-8\right)+10y=8$$

اضرب -4 في -\frac{y}{2}-8.

$$2y+32+10y=8$$

اجمع 2y مع 10y.

$$12y+32=8$$

اطرح 32 من طرفي المعادلة.

$$12y=-24$$

قسمة طرفي المعادلة على 12.

$$y=-2$$

عوّض عن y بالقيمة -2 في x=-\frac{1}{2}y-8. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-2\right)-8$$

اضرب -\frac{1}{2} في -2.

$$x=1-8$$

اجمع -8 مع 1.

$$x=-7$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-7,y=-2$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x+y=-16,-4x+10y=8$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\-4&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-16\\8\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&1\\-4&10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-4&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\-4&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-4&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\8\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-4&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\8\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-4&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\8\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{2\times 10-\left(-4\right)}&-\frac{1}{2\times 10-\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{2\times 10-\left(-4\right)}&\frac{2}{2\times 10-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\8\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{12}&-\frac{1}{24}\\\frac{1}{6}&\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\8\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{12}\left(-16\right)-\frac{1}{24}\times 8\\\frac{1}{6}\left(-16\right)+\frac{1}{12}\times 8\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\-2\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-7,y=-2$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x+y=-16,-4x+10y=8$$

لجعل 2x و-4x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -4 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$-4\times 2x-4y=-4\left(-16\right),2\left(-4\right)x+2\times 10y=2\times 8$$

تبسيط.

$$-8x-4y=64,-8x+20y=16$$

اطرح -8x+20y=16 من -8x-4y=64 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-8x+8x-4y-20y=64-16$$

اجمع -8x مع 8x. حذف الحدين -8x و8x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-4y-20y=64-16$$

اجمع -4y مع -20y.

$$-24y=64-16$$

اجمع 64 مع -16.

$$-24y=48$$

قسمة طرفي المعادلة على -24.

$$y=-2$$

عوّض عن y بالقيمة -2 في -4x+10y=8. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-4x+10\left(-2\right)=8$$

اضرب 10 في -2.

$$-4x-20=8$$

أضف 20 إلى طرفي المعادلة.

$$-4x=28$$

قسمة طرفي المعادلة على -4.

$$x=-7$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-7,y=-2$$