حل {l}{2x+9y=19}{4x+my=53}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 9 y = 19 } \\ { 4 x + m y = 53 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-\frac{477-19m}{2\left(m-18\right)}$$

$$y=\frac{15}{m-18}$$

$$m\neq 18$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x+9y=19,4x+my=53$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x+9y=19$$

اطرح 9y من طرفي المعادلة.

$$2x=-9y+19$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-9y+19\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في -9y+19.

$$x=-\frac{9}{2}y+\frac{19}{2}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-9y+19}{2} في المعادلة الأخرى، 4x+my=53.

$$4\left(-\frac{9}{2}y+\frac{19}{2}\right)+my=53$$

اضرب 4 في \frac{-9y+19}{2}.

$$-18y+38+my=53$$

اجمع -18y مع my.

$$\left(m-18\right)y+38=53$$

اطرح 38 من طرفي المعادلة.

$$\left(m-18\right)y=15$$

قسمة طرفي المعادلة على -18+m.

$$y=\frac{15}{m-18}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{15}{-18+m} في x=-\frac{9}{2}y+\frac{19}{2}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{9}{2}\times \frac{15}{m-18}+\frac{19}{2}$$

اضرب -\frac{9}{2} في \frac{15}{-18+m}.

$$x=-\frac{135}{2\left(m-18\right)}+\frac{19}{2}$$

اجمع \frac{19}{2} مع -\frac{135}{2\left(-18+m\right)}.

$$x=\frac{19m-477}{2\left(m-18\right)}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{19m-477}{2\left(m-18\right)},y=\frac{15}{m-18}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x+9y=19,4x+my=53$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{2m-9\times 4}&-\frac{9}{2m-9\times 4}\\-\frac{4}{2m-9\times 4}&\frac{2}{2m-9\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{2\left(m-18\right)}&-\frac{9}{2\left(m-18\right)}\\-\frac{2}{m-18}&\frac{1}{m-18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{2\left(m-18\right)}\times 19+\left(-\frac{9}{2\left(m-18\right)}\right)\times 53\\\left(-\frac{2}{m-18}\right)\times 19+\frac{1}{m-18}\times 53\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19m-477}{2\left(m-18\right)}\\\frac{15}{m-18}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{19m-477}{2\left(m-18\right)},y=\frac{15}{m-18}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x+9y=19,4x+my=53$$

لجعل 2x و4x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 4 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$4\times 2x+4\times 9y=4\times 19,2\times 4x+2my=2\times 53$$

تبسيط.

$$8x+36y=76,8x+2my=106$$

اطرح 8x+2my=106 من 8x+36y=76 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$8x-8x+36y+\left(-2m\right)y=76-106$$

اجمع 8x مع -8x. حذف الحدين 8x و-8x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$36y+\left(-2m\right)y=76-106$$

اجمع 36y مع -2my.

$$\left(36-2m\right)y=76-106$$

اجمع 76 مع -106.

$$\left(36-2m\right)y=-30$$

قسمة طرفي المعادلة على 36-2m.

$$y=-\frac{15}{18-m}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{15}{18-m} في 4x+my=53. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$4x+m\left(-\frac{15}{18-m}\right)=53$$

اضرب m في -\frac{15}{18-m}.

$$4x-\frac{15m}{18-m}=53$$

أضف \frac{15m}{18-m} إلى طرفي المعادلة.

$$4x=\frac{2\left(477-19m\right)}{18-m}$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=\frac{477-19m}{2\left(18-m\right)}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{477-19m}{2\left(18-m\right)},y=-\frac{15}{18-m}$$