حل {l}{2x+8y=64}{7x+y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 8 y = 64 } \\ { 7 x + y = 8 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=0$$

$$y=8$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x+8y=64,7x+y=8$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x+8y=64$$

اطرح 8y من طرفي المعادلة.

$$2x=-8y+64$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-8y+64\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في -8y+64.

$$x=-4y+32$$

عوّض عن x بالقيمة -4y+32 في المعادلة الأخرى، 7x+y=8.

$$7\left(-4y+32\right)+y=8$$

اضرب 7 في -4y+32.

$$-28y+224+y=8$$

اجمع -28y مع y.

$$-27y+224=8$$

اطرح 224 من طرفي المعادلة.

$$-27y=-216$$

قسمة طرفي المعادلة على -27.

$$y=8$$

عوّض عن y بالقيمة 8 في x=-4y+32. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-4\times 8+32$$

اضرب -4 في 8.

$$x=-32+32$$

اجمع 32 مع -32.

$$x=0$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=0,y=8$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x+8y=64,7x+y=8$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&8\\7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}64\\8\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&8\\7&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&8\\7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\8\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\8\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\8\end{matrix}\right)$$

في المصفوفة 2\times 2 في هذا المثال \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة هي \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمسألة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-8\times 7}&-\frac{8}{2-8\times 7}\\-\frac{7}{2-8\times 7}&\frac{2}{2-8\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}64\\8\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{54}&\frac{4}{27}\\\frac{7}{54}&-\frac{1}{27}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}64\\8\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{54}\times 64+\frac{4}{27}\times 8\\\frac{7}{54}\times 64-\frac{1}{27}\times 8\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\8\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=0,y=8$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x+8y=64,7x+y=8$$

لجعل 2x و7x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 7 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$7\times 2x+7\times 8y=7\times 64,2\times 7x+2y=2\times 8$$

تبسيط.

$$14x+56y=448,14x+2y=16$$

اطرح 14x+2y=16 من 14x+56y=448 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$14x-14x+56y-2y=448-16$$

اجمع 14x مع -14x. حذف الحدين 14x و-14x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$56y-2y=448-16$$

اجمع 56y مع -2y.

$$54y=448-16$$

اجمع 448 مع -16.

$$54y=432$$

قسمة طرفي المعادلة على 54.

$$y=8$$

عوّض عن y بالقيمة 8 في 7x+y=8. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$7x+8=8$$

اطرح 8 من طرفي المعادلة.

$$7x=0$$

قسمة طرفي المعادلة على 7.

$$x=0$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=0,y=8$$