حل {l}{2x+7y=5}{3x+6y=20}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 7 y = 5 } \\ { 3 x + 6 y = 20 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{110}{9} = 12\frac{2}{9} \approx 12.222222222$$

$$y = -\frac{25}{9} = -2\frac{7}{9} \approx -2.777777778$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x+7y=5,3x+6y=20$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x+7y=5$$

اطرح 7y من طرفي المعادلة.

$$2x=-7y+5$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-7y+5\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في -7y+5.

$$x=-\frac{7}{2}y+\frac{5}{2}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-7y+5}{2} في المعادلة الأخرى، 3x+6y=20.

$$3\left(-\frac{7}{2}y+\frac{5}{2}\right)+6y=20$$

اضرب 3 في \frac{-7y+5}{2}.

$$-\frac{21}{2}y+\frac{15}{2}+6y=20$$

اجمع -\frac{21y}{2} مع 6y.

$$-\frac{9}{2}y+\frac{15}{2}=20$$

اطرح \frac{15}{2} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{9}{2}y=\frac{25}{2}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{9}{2}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-\frac{25}{9}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{25}{9} في x=-\frac{7}{2}y+\frac{5}{2}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{7}{2}\left(-\frac{25}{9}\right)+\frac{5}{2}$$

اضرب -\frac{7}{2} في -\frac{25}{9} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{175}{18}+\frac{5}{2}$$

اجمع \frac{5}{2} مع \frac{175}{18} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{110}{9}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{110}{9},y=-\frac{25}{9}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x+7y=5,3x+6y=20$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&7\\3&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\20\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&7\\3&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\3&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&7\\3&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\3&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\20\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\3&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\20\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\3&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\20\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{2\times 6-7\times 3}&-\frac{7}{2\times 6-7\times 3}\\-\frac{3}{2\times 6-7\times 3}&\frac{2}{2\times 6-7\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\20\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}&\frac{7}{9}\\\frac{1}{3}&-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\20\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\times 5+\frac{7}{9}\times 20\\\frac{1}{3}\times 5-\frac{2}{9}\times 20\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{110}{9}\\-\frac{25}{9}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{110}{9},y=-\frac{25}{9}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x+7y=5,3x+6y=20$$

لجعل 2x و3x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 3 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$3\times 2x+3\times 7y=3\times 5,2\times 3x+2\times 6y=2\times 20$$

تبسيط.

$$6x+21y=15,6x+12y=40$$

اطرح 6x+12y=40 من 6x+21y=15 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$6x-6x+21y-12y=15-40$$

اجمع 6x مع -6x. حذف الحدين 6x و-6x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$21y-12y=15-40$$

اجمع 21y مع -12y.

$$9y=15-40$$

اجمع 15 مع -40.

$$9y=-25$$

قسمة طرفي المعادلة على 9.

$$y=-\frac{25}{9}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{25}{9} في 3x+6y=20. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$3x+6\left(-\frac{25}{9}\right)=20$$

اضرب 6 في -\frac{25}{9}.

$$3x-\frac{50}{3}=20$$

أضف \frac{50}{3} إلى طرفي المعادلة.

$$3x=\frac{110}{3}$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{110}{9}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{110}{9},y=-\frac{25}{9}$$