حل {l}{2x+6y=11}{5x-7y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 6 y = 11 } \\ { 5 x - 7 y = 10 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{137}{44} = 3\frac{5}{44} \approx 3.113636364$$

$$y=\frac{35}{44}\approx 0.795454545$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x+6y=11,5x-7y=10$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x+6y=11$$

اطرح 6y من طرفي المعادلة.

$$2x=-6y+11$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-6y+11\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في -6y+11.

$$x=-3y+\frac{11}{2}$$

عوّض عن x بالقيمة -3y+\frac{11}{2} في المعادلة الأخرى، 5x-7y=10.

$$5\left(-3y+\frac{11}{2}\right)-7y=10$$

اضرب 5 في -3y+\frac{11}{2}.

$$-15y+\frac{55}{2}-7y=10$$

اجمع -15y مع -7y.

$$-22y+\frac{55}{2}=10$$

اطرح \frac{55}{2} من طرفي المعادلة.

$$-22y=-\frac{35}{2}$$

قسمة طرفي المعادلة على -22.

$$y=\frac{35}{44}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{35}{44} في x=-3y+\frac{11}{2}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-3\times \frac{35}{44}+\frac{11}{2}$$

اضرب -3 في \frac{35}{44}.

$$x=-\frac{105}{44}+\frac{11}{2}$$

اجمع \frac{11}{2} مع -\frac{105}{44} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{137}{44}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{137}{44},y=\frac{35}{44}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x+6y=11,5x-7y=10$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&6\\5&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\10\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&6\\5&-7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&6\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&6\\5&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&6\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\10\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&6\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\10\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&6\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\10\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{2\left(-7\right)-6\times 5}&-\frac{6}{2\left(-7\right)-6\times 5}\\-\frac{5}{2\left(-7\right)-6\times 5}&\frac{2}{2\left(-7\right)-6\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\10\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{44}&\frac{3}{22}\\\frac{5}{44}&-\frac{1}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\10\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{44}\times 11+\frac{3}{22}\times 10\\\frac{5}{44}\times 11-\frac{1}{22}\times 10\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{137}{44}\\\frac{35}{44}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{137}{44},y=\frac{35}{44}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x+6y=11,5x-7y=10$$

لجعل 2x و5x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 5 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$5\times 2x+5\times 6y=5\times 11,2\times 5x+2\left(-7\right)y=2\times 10$$

تبسيط.

$$10x+30y=55,10x-14y=20$$

اطرح 10x-14y=20 من 10x+30y=55 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$10x-10x+30y+14y=55-20$$

اجمع 10x مع -10x. حذف الحدين 10x و-10x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$30y+14y=55-20$$

اجمع 30y مع 14y.

$$44y=55-20$$

اجمع 55 مع -20.

$$44y=35$$

قسمة طرفي المعادلة على 44.

$$y=\frac{35}{44}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{35}{44} في 5x-7y=10. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$5x-7\times \frac{35}{44}=10$$

اضرب -7 في \frac{35}{44}.

$$5x-\frac{245}{44}=10$$

أضف \frac{245}{44} إلى طرفي المعادلة.

$$5x=\frac{685}{44}$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$x=\frac{137}{44}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{137}{44},y=\frac{35}{44}$$