حل {l}{2x+5y=5}{3x-5y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = 5 } \\ { 3 x - 5 y = 1 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5} = 1.2$$

$$y=\frac{13}{25}=0.52$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x+5y=5,3x-5y=1$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x+5y=5$$

اطرح 5y من طرفي المعادلة.

$$2x=-5y+5$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+5\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في -5y+5.

$$x=-\frac{5}{2}y+\frac{5}{2}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-5y+5}{2} في المعادلة الأخرى، 3x-5y=1.

$$3\left(-\frac{5}{2}y+\frac{5}{2}\right)-5y=1$$

اضرب 3 في \frac{-5y+5}{2}.

$$-\frac{15}{2}y+\frac{15}{2}-5y=1$$

اجمع -\frac{15y}{2} مع -5y.

$$-\frac{25}{2}y+\frac{15}{2}=1$$

اطرح \frac{15}{2} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{25}{2}y=-\frac{13}{2}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{25}{2}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=\frac{13}{25}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{13}{25} في x=-\frac{5}{2}y+\frac{5}{2}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{5}{2}\times \frac{13}{25}+\frac{5}{2}$$

اضرب -\frac{5}{2} في \frac{13}{25} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{13}{10}+\frac{5}{2}$$

اجمع \frac{5}{2} مع -\frac{13}{10} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{6}{5}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{6}{5},y=\frac{13}{25}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x+5y=5,3x-5y=1$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\3&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&5\\3&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\3&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2\left(-5\right)-5\times 3}&-\frac{5}{2\left(-5\right)-5\times 3}\\-\frac{3}{2\left(-5\right)-5\times 3}&\frac{2}{2\left(-5\right)-5\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{3}{25}&-\frac{2}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 5+\frac{1}{5}\\\frac{3}{25}\times 5-\frac{2}{25}\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{5}\\\frac{13}{25}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{6}{5},y=\frac{13}{25}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x+5y=5,3x-5y=1$$

لجعل 2x و3x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 3 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$3\times 2x+3\times 5y=3\times 5,2\times 3x+2\left(-5\right)y=2$$

تبسيط.

$$6x+15y=15,6x-10y=2$$

اطرح 6x-10y=2 من 6x+15y=15 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$6x-6x+15y+10y=15-2$$

اجمع 6x مع -6x. حذف الحدين 6x و-6x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$15y+10y=15-2$$

اجمع 15y مع 10y.

$$25y=15-2$$

اجمع 15 مع -2.

$$25y=13$$

قسمة طرفي المعادلة على 25.

$$y=\frac{13}{25}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{13}{25} في 3x-5y=1. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$3x-5\times \frac{13}{25}=1$$

اضرب -5 في \frac{13}{25}.

$$3x-\frac{13}{5}=1$$

أضف \frac{13}{5} إلى طرفي المعادلة.

$$3x=\frac{18}{5}$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{6}{5}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{6}{5},y=\frac{13}{25}$$