حل {l}{2x+5y=259}{199x-2y=1127}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = 259 } \\ { 199 x - 2 y = 1127 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{2051}{333} = 6\frac{53}{333} \approx 6.159159159$$

$$y = \frac{16429}{333} = 49\frac{112}{333} \approx 49.336336336$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x+5y=259,199x-2y=1127$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x+5y=259$$

اطرح 5y من طرفي المعادلة.

$$2x=-5y+259$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+259\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في -5y+259.

$$x=-\frac{5}{2}y+\frac{259}{2}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-5y+259}{2} في المعادلة الأخرى، 199x-2y=1127.

$$199\left(-\frac{5}{2}y+\frac{259}{2}\right)-2y=1127$$

اضرب 199 في \frac{-5y+259}{2}.

$$-\frac{995}{2}y+\frac{51541}{2}-2y=1127$$

اجمع -\frac{995y}{2} مع -2y.

$$-\frac{999}{2}y+\frac{51541}{2}=1127$$

اطرح \frac{51541}{2} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{999}{2}y=-\frac{49287}{2}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{999}{2}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=\frac{16429}{333}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{16429}{333} في x=-\frac{5}{2}y+\frac{259}{2}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{5}{2}\times \frac{16429}{333}+\frac{259}{2}$$

اضرب -\frac{5}{2} في \frac{16429}{333} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{82145}{666}+\frac{259}{2}$$

اجمع \frac{259}{2} مع -\frac{82145}{666} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{2051}{333}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{2051}{333},y=\frac{16429}{333}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x+5y=259,199x-2y=1127$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

في المصفوفة 2\times 2 في هذا المثال \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة هي \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمسألة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-5\times 199}&-\frac{5}{2\left(-2\right)-5\times 199}\\-\frac{199}{2\left(-2\right)-5\times 199}&\frac{2}{2\left(-2\right)-5\times 199}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{999}&\frac{5}{999}\\\frac{199}{999}&-\frac{2}{999}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{999}\times 259+\frac{5}{999}\times 1127\\\frac{199}{999}\times 259-\frac{2}{999}\times 1127\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2051}{333}\\\frac{16429}{333}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{2051}{333},y=\frac{16429}{333}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x+5y=259,199x-2y=1127$$

لجعل 2x و199x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 199 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$199\times 2x+199\times 5y=199\times 259,2\times 199x+2\left(-2\right)y=2\times 1127$$

تبسيط.

$$398x+995y=51541,398x-4y=2254$$

اطرح 398x-4y=2254 من 398x+995y=51541 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$398x-398x+995y+4y=51541-2254$$

اجمع 398x مع -398x. حذف الحدين 398x و-398x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$995y+4y=51541-2254$$

اجمع 995y مع 4y.

$$999y=51541-2254$$

اجمع 51541 مع -2254.

$$999y=49287$$

قسمة طرفي المعادلة على 999.

$$y=\frac{16429}{333}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{16429}{333} في 199x-2y=1127. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$199x-2\times \frac{16429}{333}=1127$$

اضرب -2 في \frac{16429}{333}.

$$199x-\frac{32858}{333}=1127$$

أضف \frac{32858}{333} إلى طرفي المعادلة.

$$199x=\frac{408149}{333}$$

قسمة طرفي المعادلة على 199.

$$x=\frac{2051}{333}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{2051}{333},y=\frac{16429}{333}$$