حل {l}{2x+5y=17}{6y=6-5x}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = 17 } \\ { 6 y = 6 - 5 x } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = -\frac{72}{13} = -5\frac{7}{13} \approx -5.538461538$$

$$y = \frac{73}{13} = 5\frac{8}{13} \approx 5.615384615$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. إضافة 5x لكلا الجانبين.

$$6y+5x=6$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x+5y=17,5x+6y=6$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x+5y=17$$

اطرح 5y من طرفي المعادلة.

$$2x=-5y+17$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+17\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في -5y+17.

$$x=-\frac{5}{2}y+\frac{17}{2}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-5y+17}{2} في المعادلة الأخرى، 5x+6y=6.

$$5\left(-\frac{5}{2}y+\frac{17}{2}\right)+6y=6$$

اضرب 5 في \frac{-5y+17}{2}.

$$-\frac{25}{2}y+\frac{85}{2}+6y=6$$

اجمع -\frac{25y}{2} مع 6y.

$$-\frac{13}{2}y+\frac{85}{2}=6$$

اطرح \frac{85}{2} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{13}{2}y=-\frac{73}{2}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{13}{2}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=\frac{73}{13}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{73}{13} في x=-\frac{5}{2}y+\frac{17}{2}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{5}{2}\times \frac{73}{13}+\frac{17}{2}$$

اضرب -\frac{5}{2} في \frac{73}{13} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{365}{26}+\frac{17}{2}$$

اجمع \frac{17}{2} مع -\frac{365}{26} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{72}{13}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{72}{13},y=\frac{73}{13}$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. إضافة 5x لكلا الجانبين.

$$6y+5x=6$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x+5y=17,5x+6y=6$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\6\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&5\\5&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\6\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\6\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\6\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{2\times 6-5\times 5}&-\frac{5}{2\times 6-5\times 5}\\-\frac{5}{2\times 6-5\times 5}&\frac{2}{2\times 6-5\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\6\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{13}&\frac{5}{13}\\\frac{5}{13}&-\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\6\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{13}\times 17+\frac{5}{13}\times 6\\\frac{5}{13}\times 17-\frac{2}{13}\times 6\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{72}{13}\\\frac{73}{13}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-\frac{72}{13},y=\frac{73}{13}$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. إضافة 5x لكلا الجانبين.

$$6y+5x=6$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x+5y=17,5x+6y=6$$

لجعل 2x و5x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 5 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$5\times 2x+5\times 5y=5\times 17,2\times 5x+2\times 6y=2\times 6$$

تبسيط.

$$10x+25y=85,10x+12y=12$$

اطرح 10x+12y=12 من 10x+25y=85 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$10x-10x+25y-12y=85-12$$

اجمع 10x مع -10x. حذف الحدين 10x و-10x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$25y-12y=85-12$$

اجمع 25y مع -12y.

$$13y=85-12$$

اجمع 85 مع -12.

$$13y=73$$

قسمة طرفي المعادلة على 13.

$$y=\frac{73}{13}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{73}{13} في 5x+6y=6. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$5x+6\times \frac{73}{13}=6$$

اضرب 6 في \frac{73}{13}.

$$5x+\frac{438}{13}=6$$

اطرح \frac{438}{13} من طرفي المعادلة.

$$5x=-\frac{360}{13}$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$x=-\frac{72}{13}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{72}{13},y=\frac{73}{13}$$