حل {l}{2x+5y=17}{5x+y=31}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = 17 } \\ { 5 x + y = 31 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=6$$

$$y=1$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x+5y=17,5x+y=31$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x+5y=17$$

اطرح 5y من طرفي المعادلة.

$$2x=-5y+17$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+17\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في -5y+17.

$$x=-\frac{5}{2}y+\frac{17}{2}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-5y+17}{2} في المعادلة الأخرى، 5x+y=31.

$$5\left(-\frac{5}{2}y+\frac{17}{2}\right)+y=31$$

اضرب 5 في \frac{-5y+17}{2}.

$$-\frac{25}{2}y+\frac{85}{2}+y=31$$

اجمع -\frac{25y}{2} مع y.

$$-\frac{23}{2}y+\frac{85}{2}=31$$

اطرح \frac{85}{2} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{23}{2}y=-\frac{23}{2}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{23}{2}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=1$$

عوّض عن y بالقيمة 1 في x=-\frac{5}{2}y+\frac{17}{2}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{-5+17}{2}$$

اجمع \frac{17}{2} مع -\frac{5}{2} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=6$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=6,y=1$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x+5y=17,5x+y=31$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\31\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&5\\5&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\31\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\31\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\31\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-5\times 5}&-\frac{5}{2-5\times 5}\\-\frac{5}{2-5\times 5}&\frac{2}{2-5\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\31\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{23}&\frac{5}{23}\\\frac{5}{23}&-\frac{2}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\31\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{23}\times 17+\frac{5}{23}\times 31\\\frac{5}{23}\times 17-\frac{2}{23}\times 31\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\1\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=6,y=1$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x+5y=17,5x+y=31$$

لجعل 2x و5x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 5 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$5\times 2x+5\times 5y=5\times 17,2\times 5x+2y=2\times 31$$

تبسيط.

$$10x+25y=85,10x+2y=62$$

اطرح 10x+2y=62 من 10x+25y=85 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$10x-10x+25y-2y=85-62$$

اجمع 10x مع -10x. حذف الحدين 10x و-10x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$25y-2y=85-62$$

اجمع 25y مع -2y.

$$23y=85-62$$

اجمع 85 مع -62.

$$23y=23$$

قسمة طرفي المعادلة على 23.

$$y=1$$

عوّض عن y بالقيمة 1 في 5x+y=31. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$5x+1=31$$

اطرح 1 من طرفي المعادلة.

$$5x=30$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$x=6$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=6,y=1$$