حل {l}{2x+5y=-10}{y=-7/5x+3}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = - 10 } \\ { y = - \frac { 7 } { 5 } x + 3 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=5$$

$$y=-4$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. إضافة \frac{7}{5}x لكلا الجانبين.

$$y+\frac{7}{5}x=3$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x+5y=-10,\frac{7}{5}x+y=3$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x+5y=-10$$

اطرح 5y من طرفي المعادلة.

$$2x=-5y-10$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y-10\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في -5y-10.

$$x=-\frac{5}{2}y-5$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{5y}{2}-5 في المعادلة الأخرى، \frac{7}{5}x+y=3.

$$\frac{7}{5}\left(-\frac{5}{2}y-5\right)+y=3$$

اضرب \frac{7}{5} في -\frac{5y}{2}-5.

$$-\frac{7}{2}y-7+y=3$$

اجمع -\frac{7y}{2} مع y.

$$-\frac{5}{2}y-7=3$$

أضف 7 إلى طرفي المعادلة.

$$-\frac{5}{2}y=10$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{5}{2}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-4$$

عوّض عن y بالقيمة -4 في x=-\frac{5}{2}y-5. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{5}{2}\left(-4\right)-5$$

اضرب -\frac{5}{2} في -4.

$$x=10-5$$

اجمع -5 مع 10.

$$x=5$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=5,y=-4$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. إضافة \frac{7}{5}x لكلا الجانبين.

$$y+\frac{7}{5}x=3$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x+5y=-10,\frac{7}{5}x+y=3$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\\frac{7}{5}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\3\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&5\\\frac{7}{5}&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\\frac{7}{5}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\\frac{7}{5}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\\frac{7}{5}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\3\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\\frac{7}{5}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\3\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\\frac{7}{5}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\3\end{matrix}\right)$$

في المصفوفة 2\times 2 في هذا المثال \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة هي \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمسألة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-5\times \frac{7}{5}}&-\frac{5}{2-5\times \frac{7}{5}}\\-\frac{\frac{7}{5}}{2-5\times \frac{7}{5}}&\frac{2}{2-5\times \frac{7}{5}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\3\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&1\\\frac{7}{25}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\3\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\left(-10\right)+3\\\frac{7}{25}\left(-10\right)-\frac{2}{5}\times 3\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-4\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=5,y=-4$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. إضافة \frac{7}{5}x لكلا الجانبين.

$$y+\frac{7}{5}x=3$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x+5y=-10,\frac{7}{5}x+y=3$$

لجعل 2x و\frac{7x}{5} متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في \frac{7}{5} وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$\frac{7}{5}\times 2x+\frac{7}{5}\times 5y=\frac{7}{5}\left(-10\right),2\times \frac{7}{5}x+2y=2\times 3$$

تبسيط.

$$\frac{14}{5}x+7y=-14,\frac{14}{5}x+2y=6$$

اطرح \frac{14}{5}x+2y=6 من \frac{14}{5}x+7y=-14 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$\frac{14}{5}x-\frac{14}{5}x+7y-2y=-14-6$$

اجمع \frac{14x}{5} مع -\frac{14x}{5}. حذف الحدين \frac{14x}{5} و-\frac{14x}{5}، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$7y-2y=-14-6$$

اجمع 7y مع -2y.

$$5y=-14-6$$

اجمع -14 مع -6.

$$5y=-20$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$y=-4$$

عوّض عن y بالقيمة -4 في \frac{7}{5}x+y=3. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$\frac{7}{5}x-4=3$$

أضف 4 إلى طرفي المعادلة.

$$\frac{7}{5}x=7$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{7}{5}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$x=5$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=5,y=-4$$