حل {l}{2x+4y=8}{3y-2x=6}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 4 y = 8 } \\ { 3 y - 2 x = 6 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=0$$

$$y=2$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x+4y=8,-2x+3y=6$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x+4y=8$$

اطرح 4y من طرفي المعادلة.

$$2x=-4y+8$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y+8\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في -4y+8.

$$x=-2y+4$$

عوّض عن x بالقيمة -2y+4 في المعادلة الأخرى، -2x+3y=6.

$$-2\left(-2y+4\right)+3y=6$$

اضرب -2 في -2y+4.

$$4y-8+3y=6$$

اجمع 4y مع 3y.

$$7y-8=6$$

أضف 8 إلى طرفي المعادلة.

$$7y=14$$

قسمة طرفي المعادلة على 7.

$$y=2$$

عوّض عن y بالقيمة 2 في x=-2y+4. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-2\times 2+4$$

اضرب -2 في 2.

$$x=-4+4$$

اجمع 4 مع -4.

$$x=0$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=0,y=2$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x+4y=8,-2x+3y=6$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&4\\-2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-4\left(-2\right)}&-\frac{4}{2\times 3-4\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{2\times 3-4\left(-2\right)}&\frac{2}{2\times 3-4\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{14}&-\frac{2}{7}\\\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{14}\times 8-\frac{2}{7}\times 6\\\frac{1}{7}\times 8+\frac{1}{7}\times 6\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=0,y=2$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x+4y=8,-2x+3y=6$$

لجعل 2x و-2x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$-2\times 2x-2\times 4y=-2\times 8,2\left(-2\right)x+2\times 3y=2\times 6$$

تبسيط.

$$-4x-8y=-16,-4x+6y=12$$

اطرح -4x+6y=12 من -4x-8y=-16 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-4x+4x-8y-6y=-16-12$$

اجمع -4x مع 4x. حذف الحدين -4x و4x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-8y-6y=-16-12$$

اجمع -8y مع -6y.

$$-14y=-16-12$$

اجمع -16 مع -12.

$$-14y=-28$$

قسمة طرفي المعادلة على -14.

$$y=2$$

عوّض عن y بالقيمة 2 في -2x+3y=6. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-2x+3\times 2=6$$

اضرب 3 في 2.

$$-2x+6=6$$

اطرح 6 من طرفي المعادلة.

$$-2x=0$$

قسمة طرفي المعادلة على -2.

$$x=0$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=0,y=2$$