حل {l}{2x+4y=52}{3x+2y=44}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 4 y = 52 } \\ { 3 x + 2 y = 44 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=9$$

$$y = \frac{17}{2} = 8\frac{1}{2} = 8.5$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x+4y=52,3x+2y=44$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x+4y=52$$

اطرح 4y من طرفي المعادلة.

$$2x=-4y+52$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y+52\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في -4y+52.

$$x=-2y+26$$

عوّض عن x بالقيمة -2y+26 في المعادلة الأخرى، 3x+2y=44.

$$3\left(-2y+26\right)+2y=44$$

اضرب 3 في -2y+26.

$$-6y+78+2y=44$$

اجمع -6y مع 2y.

$$-4y+78=44$$

اطرح 78 من طرفي المعادلة.

$$-4y=-34$$

قسمة طرفي المعادلة على -4.

$$y=\frac{17}{2}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{17}{2} في x=-2y+26. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-2\times \frac{17}{2}+26$$

اضرب -2 في \frac{17}{2}.

$$x=-17+26$$

اجمع 26 مع -17.

$$x=9$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=9,y=\frac{17}{2}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x+4y=52,3x+2y=44$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}52\\44\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&4\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}52\\44\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}52\\44\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}52\\44\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-4\times 3}&-\frac{4}{2\times 2-4\times 3}\\-\frac{3}{2\times 2-4\times 3}&\frac{2}{2\times 2-4\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}52\\44\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{2}\\\frac{3}{8}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}52\\44\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 52+\frac{1}{2}\times 44\\\frac{3}{8}\times 52-\frac{1}{4}\times 44\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\\frac{17}{2}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=9,y=\frac{17}{2}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x+4y=52,3x+2y=44$$

لجعل 2x و3x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 3 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$3\times 2x+3\times 4y=3\times 52,2\times 3x+2\times 2y=2\times 44$$

تبسيط.

$$6x+12y=156,6x+4y=88$$

اطرح 6x+4y=88 من 6x+12y=156 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$6x-6x+12y-4y=156-88$$

اجمع 6x مع -6x. حذف الحدين 6x و-6x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$12y-4y=156-88$$

اجمع 12y مع -4y.

$$8y=156-88$$

اجمع 156 مع -88.

$$8y=68$$

قسمة طرفي المعادلة على 8.

$$y=\frac{17}{2}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{17}{2} في 3x+2y=44. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$3x+2\times \frac{17}{2}=44$$

اضرب 2 في \frac{17}{2}.

$$3x+17=44$$

اطرح 17 من طرفي المعادلة.

$$3x=27$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=9$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=9,y=\frac{17}{2}$$