حل {l}{2x+4y=10}{x-y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 4 y = 10 } \\ { x - y = 7 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{19}{3} = 6\frac{1}{3} \approx 6.333333333$$

$$y=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x+4y=10,x-y=7$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x+4y=10$$

اطرح 4y من طرفي المعادلة.

$$2x=-4y+10$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y+10\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في -4y+10.

$$x=-2y+5$$

عوّض عن x بالقيمة -2y+5 في المعادلة الأخرى، x-y=7.

$$-2y+5-y=7$$

اجمع -2y مع -y.

$$-3y+5=7$$

اطرح 5 من طرفي المعادلة.

$$-3y=2$$

قسمة طرفي المعادلة على -3.

$$y=-\frac{2}{3}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{2}{3} في x=-2y+5. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-2\left(-\frac{2}{3}\right)+5$$

اضرب -2 في -\frac{2}{3}.

$$x=\frac{4}{3}+5$$

اجمع 5 مع \frac{4}{3}.

$$x=\frac{19}{3}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{19}{3},y=-\frac{2}{3}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x+4y=10,x-y=7$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\7\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&4\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\7\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\7\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\7\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-4}&-\frac{4}{2\left(-1\right)-4}\\-\frac{1}{2\left(-1\right)-4}&\frac{2}{2\left(-1\right)-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\7\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{2}{3}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\7\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 10+\frac{2}{3}\times 7\\\frac{1}{6}\times 10-\frac{1}{3}\times 7\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{3}\\-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{19}{3},y=-\frac{2}{3}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x+4y=10,x-y=7$$

لجعل 2x وx متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$2x+4y=10,2x+2\left(-1\right)y=2\times 7$$

تبسيط.

$$2x+4y=10,2x-2y=14$$

اطرح 2x-2y=14 من 2x+4y=10 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$2x-2x+4y+2y=10-14$$

اجمع 2x مع -2x. حذف الحدين 2x و-2x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$4y+2y=10-14$$

اجمع 4y مع 2y.

$$6y=10-14$$

اجمع 10 مع -14.

$$6y=-4$$

قسمة طرفي المعادلة على 6.

$$y=-\frac{2}{3}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{2}{3} في x-y=7. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x-\left(-\frac{2}{3}\right)=7$$

اطرح \frac{2}{3} من طرفي المعادلة.

$$x=\frac{19}{3}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{19}{3},y=-\frac{2}{3}$$