حل {l}{2x+3y-7=0}{3x-5y+18=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y - 7 = 0 } \\ { 3 x - 5 y + 18 = 0 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-1$$

$$y=3$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x+3y-7=0,3x-5y+18=0$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x+3y-7=0$$

أضف 7 إلى طرفي المعادلة.

$$2x+3y=7$$

اطرح 3y من طرفي المعادلة.

$$2x=-3y+7$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+7\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في -3y+7.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{7}{2}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-3y+7}{2} في المعادلة الأخرى، 3x-5y+18=0.

$$3\left(-\frac{3}{2}y+\frac{7}{2}\right)-5y+18=0$$

اضرب 3 في \frac{-3y+7}{2}.

$$-\frac{9}{2}y+\frac{21}{2}-5y+18=0$$

اجمع -\frac{9y}{2} مع -5y.

$$-\frac{19}{2}y+\frac{21}{2}+18=0$$

اجمع \frac{21}{2} مع 18.

$$-\frac{19}{2}y+\frac{57}{2}=0$$

اطرح \frac{57}{2} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{19}{2}y=-\frac{57}{2}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{19}{2}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=3$$

عوّض عن y بالقيمة 3 في x=-\frac{3}{2}y+\frac{7}{2}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{3}{2}\times 3+\frac{7}{2}$$

اضرب -\frac{3}{2} في 3.

$$x=\frac{-9+7}{2}$$

اجمع \frac{7}{2} مع -\frac{9}{2} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-1,y=3$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x+3y-7=0,3x-5y+18=0$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\3&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-18\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&3\\3&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\3&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-18\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-18\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-18\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2\left(-5\right)-3\times 3}&-\frac{3}{2\left(-5\right)-3\times 3}\\-\frac{3}{2\left(-5\right)-3\times 3}&\frac{2}{2\left(-5\right)-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-18\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}&\frac{3}{19}\\\frac{3}{19}&-\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-18\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}\times 7+\frac{3}{19}\left(-18\right)\\\frac{3}{19}\times 7-\frac{2}{19}\left(-18\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-1,y=3$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x+3y-7=0,3x-5y+18=0$$

لجعل 2x و3x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 3 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$3\times 2x+3\times 3y+3\left(-7\right)=0,2\times 3x+2\left(-5\right)y+2\times 18=0$$

تبسيط.

$$6x+9y-21=0,6x-10y+36=0$$

اطرح 6x-10y+36=0 من 6x+9y-21=0 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$6x-6x+9y+10y-21-36=0$$

اجمع 6x مع -6x. حذف الحدين 6x و-6x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$9y+10y-21-36=0$$

اجمع 9y مع 10y.

$$19y-21-36=0$$

اجمع -21 مع -36.

$$19y-57=0$$

أضف 57 إلى طرفي المعادلة.

$$19y=57$$

قسمة طرفي المعادلة على 19.

$$y=3$$

عوّض عن y بالقيمة 3 في 3x-5y+18=0. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$3x-5\times 3+18=0$$

اضرب -5 في 3.

$$3x-15+18=0$$

اجمع -15 مع 18.

$$3x+3=0$$

اطرح 3 من طرفي المعادلة.

$$3x=-3$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=-1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-1,y=3$$