حل {l}{2x+3y=8}{6x-3y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 8 } \\ { 6 x - 3 y = 10 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{9}{4} = 2\frac{1}{4} = 2.25$$

$$y = \frac{7}{6} = 1\frac{1}{6} \approx 1.166666667$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x+3y=8,6x-3y=10$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x+3y=8$$

اطرح 3y من طرفي المعادلة.

$$2x=-3y+8$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+8\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في -3y+8.

$$x=-\frac{3}{2}y+4$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{3y}{2}+4 في المعادلة الأخرى، 6x-3y=10.

$$6\left(-\frac{3}{2}y+4\right)-3y=10$$

اضرب 6 في -\frac{3y}{2}+4.

$$-9y+24-3y=10$$

اجمع -9y مع -3y.

$$-12y+24=10$$

اطرح 24 من طرفي المعادلة.

$$-12y=-14$$

قسمة طرفي المعادلة على -12.

$$y=\frac{7}{6}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{7}{6} في x=-\frac{3}{2}y+4. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{7}{6}+4$$

اضرب -\frac{3}{2} في \frac{7}{6} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{7}{4}+4$$

اجمع 4 مع -\frac{7}{4}.

$$x=\frac{9}{4}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{9}{4},y=\frac{7}{6}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x+3y=8,6x-3y=10$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\6&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&3\\6&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\6&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

في المصفوفة 2\times 2 في هذا المثال \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة هي \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمسألة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2\left(-3\right)-3\times 6}&-\frac{3}{2\left(-3\right)-3\times 6}\\-\frac{6}{2\left(-3\right)-3\times 6}&\frac{2}{2\left(-3\right)-3\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{1}{8}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 8+\frac{1}{8}\times 10\\\frac{1}{4}\times 8-\frac{1}{12}\times 10\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{4}\\\frac{7}{6}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{9}{4},y=\frac{7}{6}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x+3y=8,6x-3y=10$$

لجعل 2x و6x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 6 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$6\times 2x+6\times 3y=6\times 8,2\times 6x+2\left(-3\right)y=2\times 10$$

تبسيط.

$$12x+18y=48,12x-6y=20$$

اطرح 12x-6y=20 من 12x+18y=48 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$12x-12x+18y+6y=48-20$$

اجمع 12x مع -12x. حذف الحدين 12x و-12x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$18y+6y=48-20$$

اجمع 18y مع 6y.

$$24y=48-20$$

اجمع 48 مع -20.

$$24y=28$$

قسمة طرفي المعادلة على 24.

$$y=\frac{7}{6}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{7}{6} في 6x-3y=10. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$6x-3\times \frac{7}{6}=10$$

اضرب -3 في \frac{7}{6}.

$$6x-\frac{7}{2}=10$$

أضف \frac{7}{2} إلى طرفي المعادلة.

$$6x=\frac{27}{2}$$

قسمة طرفي المعادلة على 6.

$$x=\frac{9}{4}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{9}{4},y=\frac{7}{6}$$